Questão de Matemática — Frações e Números Decimais — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 19 (alternativa D).

A ideia por trás

Uma fração é uma divisão entre dois números inteiros: o numerador (parte de cima) e o denominador (parte de baixo). A fração inversa é obtida trocando numerador e denominador de lugar: a inversa de a/b é b/a. Quando o problema diz que uma fração é igual à inversa de outra, podemos montar uma equação com essas frações. Para resolver, usamos a propriedade de que, se duas frações são iguais, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicação em cruz). Nesta questão, temos duas condições: a diferença entre denominador e numerador é 5, e a nova fração (após somar 17 e 2) é a inversa da original. Vamos montar um sistema com essas duas equações e resolvê-lo para encontrar os valores de a e b.

O que a questão dá

• diferença entre denominador e numerador = 5

• soma de 17 ao numerador e 2 ao denominador resulta na fração inversa

O que queremos: a soma entre o numerador e o denominador da fração inicial

Passo 1 — Montar a primeira equação

Precisamos traduzir a primeira informação do enunciado em uma equação. A diferença entre o denominador (b) e o numerador (a) é 5, então b - a = 5. Isso relaciona as duas incógnitas.

Por que esta fórmula: A frase 'a diferença entre o denominador e o numerador é 5' significa que, se subtrairmos o numerador do denominador, o resultado é 5. Por isso, b - a = 5.

De onde vem cada valor: $b$ = enunciado: denominador da fração inicial · $a$ = enunciado: numerador da fração inicial

Passo 2 — Montar a segunda equação

Agora usamos a segunda condição: somar 17 ao numerador e 2 ao denominador resulta na fração inversa da original. A inversa de a/b é b/a, então a nova fração (a+17)/(b+2) deve ser igual a b/a.

Por que esta fórmula: A fração inversa troca numerador e denominador. Como a nova fração é a inversa da original, escrevemos (a+17)/(b+2) = b/a.

De onde vem cada valor: $a+17$ = enunciado: somando 17 unidades ao numerador · $b+2$ = enunciado: somando 2 unidades ao denominador · $b/a$ = inversa da fração original a/b

Passo 3 — Multiplicar em cruz

Para resolver a equação com frações, multiplicamos em cruz: o numerador de uma fração vezes o denominador da outra é igual ao produto dos outros dois. Isso elimina as frações e facilita a resolução.

Por que esta fórmula: Se duas frações são iguais, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Assim, (a+17) * a = b * (b+2).

De onde vem cada valor: $a(a+17)$ = passo 2: numerador da nova fração vezes o denominador da original · $b(b+2)$ = passo 2: numerador da original vezes o denominador da nova fração

Passo 4 — Substituir b por a + 5

Temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, substituímos b = a + 5 (da primeira equação) na segunda, ficando com uma equação só com a.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, b - a = 5, então b = a + 5. Substituímos esse valor de b na equação do passo 3.

De onde vem cada valor: $a(a+17)$ = passo 3: lado esquerdo da equação · $(a+5)(a+7)$ = passo 1: b = a+5, então b+2 = a+7

Passo 5 — Expandir os produtos

Para resolver a equação, precisamos expandir os produtos e simplificar. Isso transforma a equação em uma forma mais simples de resolver.

Por que esta fórmula: Usamos a propriedade distributiva: a(a+17) = a² + 17a e (a+5)(a+7) = a² + 12a + 35.

De onde vem cada valor: $a^{2} + 17a$ = passo 4: expandindo a(a+17) · $a^{2} + 12a + 35$ = passo 4: expandindo (a+5)(a+7)

Passo 6 — Isolar a incógnita a

Agora temos uma equação do primeiro grau. Para achar a, precisamos deixá-la sozinha de um lado. Subtraímos a² e 12a dos dois lados.

Por que esta fórmula: Cancelamos a² dos dois lados e subtraímos 12a de ambos, ficando 5a = 35.

De onde vem cada valor: $5a$ = passo 5: 17a - 12a = 5a · $35$ = passo 5: constante do lado direito

Passo 7 — Calcular o valor de a

Com a equação 5a = 35, dividimos ambos os lados por 5 para encontrar a.

Por que esta fórmula: Para isolar a, dividimos por 5: a = 35/5 = 7.

De onde vem cada valor: $35$ = passo 6: valor do lado direito · $5$ = passo 6: coeficiente de a

Passo 8 — Calcular b e a soma

Com a = 7, usamos a primeira equação para achar b, e depois somamos a e b para responder à pergunta.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, b = a + 5 = 7 + 5 = 12. A soma é a + b = 7 + 12 = 19.

De onde vem cada valor: $a$ = passo 7: a = 7 · $5$ = passo 1: diferença entre denominador e numerador

b = 12; soma = 19

Resposta: 19 (alternativa D)