Questão de Raciocínio Lógico — Equivalência Lógica e Negação de Proposições — FGV 2023
Raciocínio Lógico›Equivalência Lógica e Negação de Proposições
Código
fg074476
Banca
FGV
Órgão
SMPOG de Belo Horizonte - MG
Ano
2023
Nível
Médio
Considere a sentença:“Qualquer que seja o número X, se X > 0, então existe um número Y tal que Y² = X.”A negação lógica da sentença dada é
AQualquer que seja o número X, se X > 0, então qualquer que seja o número Y tem-se que Y² ≠ X.
BQualquer que seja o número X, se X ≤ 0, então existe um número Y tal que Y² ≠ X.
CExiste um número X tal que X > 0 e qualquer que seja o número Y tem-se que Y² ≠ X.
DExiste um número X tal que X > 0 e existe um número Y tal que Y² ≠ X.
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GabaritoC — Existe um número X tal que X > 0 e qualquer que seja o número Y tem-se que Y² ≠ X.
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Raciocínio Lógico: Negação de Quantificadores e Condicional
Gabarito: letra C. A negação lógica de uma sentença quantificada do tipo "todo X, se P(X) então Q(X)" é "existe um X tal que P(X) e não Q(X)". No caso, a sentença original é: ∀X (X>0 → ∃Y (Y²=X)). Negando, obtemos: ∃X ¬(X>0 → ∃Y Y²=X). A negação da condicional ¬(A→B) equivale a A ∧ ¬B, então: ∃X (X>0 ∧ ¬∃Y Y²=X). Por sua vez, ¬∃Y Y²=X é equivalente a ∀Y ¬(Y²=X), ou seja, ∀Y (Y²≠X). Portanto, a negação é: ∃X (X>0 ∧ ∀Y Y²≠X). Em linguagem natural: "Existe um número X tal que X > 0 e, qualquer que seja o número Y, Y² é diferente de X".
Caso
Atribuição (X)
Atribuição (Y)
Resultado
Original
∀X (X>0 → ∃Y Y²=X)
—
Verdadeira (no contexto dos reais)
Negação
∃X (X>0 ∧ ∀Y Y²≠X)
—
Falsa (no contexto dos reais)
Alternativa A
∀X (X>0 → ∀Y Y²≠X)
—
Falsa (mais forte que a negação)
Alternativa B
∀X (X≤0 → ∃Y Y²≠X)
—
Falsa (antecedente alterado)
Alternativa C
∃X (X>0 ∧ ∀Y Y²≠X)
—
Verdadeira (equivale à negação)
Alternativa D
∃X ∃Y (X>0 ∧ Y²≠X)
—
Falsa (quantificador Y trocado)
1Sentença original
2Troca ∀ por ∃
3Nega a condicional
4Troca ∃ por ∀
5Resultado final
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Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma: "Qualquer que seja o número X, se X > 0, então qualquer que seja o número Y, Y² ≠ X." Isso corresponde a ∀X (X>0 → ∀Y Y²≠X), que é uma sentença muito mais forte que a negação. A negação exige que exista um X com a propriedade, não que todos os X a tenham. Além disso, o quantificador sobre Y deveria ser universal, mas o antecedente da condicional original não está negado. Erro: não trocou o quantificador universal para existencial.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma: "Qualquer que seja o número X, se X ≤ 0, então existe um número Y tal que Y² ≠ X." A condição do antecedente foi alterada (X>0 virou X≤0) e o quantificador universal permanece. A negação correta deve manter a condição X>0 e trocar o quantificador. Portanto, errada.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Exatamente a negação obtida: "Existe um número X tal que X > 0 e qualquer que seja o número Y, Y² ≠ X." Perfeita correspondência com a forma lógica derivada.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma: "Existe um número X tal que X > 0 e existe um número Y tal que Y² ≠ X." Isso é ∃X ∃Y (X>0 ∧ Y²≠X). O quantificador sobre Y deveria ser universal (∀Y), não existencial. A negação exige que para todo Y, Y² seja diferente de X, não apenas para algum Y. Logo, errada.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre os quantificadores. Ao negar uma sentença com "todo" e "existe", é preciso inverter os quantificadores: o universal vira existencial e vice‑versa. Muitos candidatos negam apenas a condicional, esquecendo de trocar os quantificadores, o que levaria às alternativas A ou D.
MNEMÔNICO
PEA
PPelo menos umEExisteAAlgum. A negação de 'Todo A é B' usa um desses quantificadores particulares (ex.: 'Algum A não é B' / 'Existe A que não é B' / 'Pelo menos um A não é B')