Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg074478

Altura relativa à hipotenusa em triângulo retângulo

Gabarito: letra D — a altura relativa à hipotenusa mede $\frac{12}{\sqrt{5}}$ cm. A resolução usa duas relações métricas do triângulo retângulo: primeiro o Teorema de Pitágoras para achar a hipotenusa e depois a relação $a \cdot h = b \cdot c$ (produto da hipotenusa pela altura igual ao produto dos catetos).

A ideia por trás

Num triângulo retângulo, a altura traçada do vértice do ângulo reto até a hipotenusa divide o triângulo em dois triângulos menores, também retângulos e semelhantes entre si e ao original. Dessa semelhança surgem as relações métricas, entre elas a que usaremos: o produto da hipotenusa pela altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos. Essa relação é consequência direta do cálculo da área do triângulo de duas formas diferentes: $\frac{base \times altura}{2}$ .

Passo a passo

1. Calcular a hipotenusa pelo Teorema de Pitágoras:

a^2 = b^2 + c^2

a^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180

a = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \text{ cm}

2. Aplicar a relação métrica $a \cdot h = b \cdot c$ :

6\sqrt{5} \cdot h = 6 \cdot 12

h = \frac{72}{6\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} \text{ cm}

Portanto, a altura relativa à hipotenusa é $\frac{12}{\sqrt{5}}$ cm.

Análise das alternativas

1Pitágoras: a² = b² + c²
2a = 6√5 cm
3Relação: a·h = b·c
4h = 12/√5 cm

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Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{5}{\sqrt{5}}$ é o resultado de um erro comum: usar a relação $h^2 = m \cdot n$ (quadrado da altura igual ao produto das projeções) sem ter as projeções, ou confundir a fórmula. Não corresponde a nenhuma relação métrica direta com os dados fornecidos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{6}{\sqrt{5}}$ seria o valor da altura se a hipotenusa fosse $6\sqrt{5}$ e o produto dos catetos fosse $36$ (ou seja, se um cateto fosse 6 e o outro 6). Aqui o produto é $6 \times 12 = 72$ , então o numerador correto é 12, não 6.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{9}{\sqrt{5}}$ não tem relação com os cálculos. Pode surgir de uma divisão incorreta de $72$ por $6\sqrt{5}$ (como se $72/8 = 9$ ) ou de uma confusão com a média aritmética dos catetos ( $(6+12)/2 = 9$ ). Nenhuma relação métrica justifica esse valor.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a hipotenusa é $6\sqrt{5}$ cm e a relação $a \cdot h = b \cdot c$ fornece $h = \frac{12}{\sqrt{5}}$ cm. Esse é exatamente o valor da alternativa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato com a relação $h^2 = m \cdot n$ , que exige as projeções dos catetos sobre a hipotenusa — que não foram dadas. O caminho direto é usar $a \cdot h = b \cdot c$ , que só precisa da hipotenusa (calculada por Pitágoras) e dos catetos. Fique atento: a altura relativa à hipotenusa é sempre menor que cada cateto, então qualquer alternativa com valor maior que 6 cm (como 9 ou 12) já seria suspeita — mas aqui o valor $\frac{12}{\sqrt{5}} \approx 5{,}37$ cm é coerente.

PEGA ESSA DICA!

Memorize as relações métricas do triângulo retângulo: $a \cdot h = b \cdot c$ , $h^2 = m \cdot n$ , $b^2 = a \cdot m$ , $c^2 = a \cdot n$ . Na hora da prova, identifique quais dados você tem e qual relação usar. Se tiver os catetos e quiser a altura, o caminho é: Pitágoras para a hipotenusa + $a \cdot h = b \cdot c$ .

Gabarito: letra D