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Questão de Matemática — Médias — FGV 2023

MatemáticaMédias
Código
fg074479
Banca
FGV
Órgão
SMPOG de Belo Horizonte - MG
Ano
2023
Nível
Médio
Em uma prova de Matemática, 10% dos estudantes fizeram 60 pontos, 20% fizeram 70 pontos, 25% fizeram 80 pontos, 30% fizeram 90 pontos e, os demais, 100 pontos.A diferença entre a média e a mediana das pontuações obtidas pelos estudantes nessa prova foi
  1. A2.
  2. B3.
  3. C4.
  4. D5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 2 pontos, alternativa A.

A ideia por trás

A média é o valor que representa o equilíbrio de todos os dados: somamos todos os valores e dividimos pelo total. Quando os dados vêm em percentuais, a média é a soma de cada valor multiplicado pela sua frequência relativa (o percentual dividido por 100). A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados ordenados: é o ponto em que 50% dos dados estão abaixo (ou igual) e 50% acima. Para dados agrupados em classes, a mediana é o valor da classe cuja frequência acumulada ultrapassa 50%. Nesta questão, temos uma distribuição de frequências em percentuais, então calculamos a média ponderada e a mediana pela frequência acumulada, e depois subtraímos uma da outra.

O que a questão dá

  • 10% dos estudantes fizeram 60 pontos

  • 20% fizeram 70 pontos

  • 25% fizeram 80 pontos

  • 30% fizeram 90 pontos

  • demais (15%) fizeram 100 pontos

O que queremos: a diferença entre a média e a mediana das pontuações

Passo 1 — Calcular a média ponderada

A média é o primeiro valor que precisamos para a diferença. Como os dados estão em percentuais, a média é a soma de cada nota multiplicada pela sua frequência relativa (percentual dividido por 100).

Por que esta fórmula: Usamos a média aritmética ponderada porque cada nota tem um peso (a porcentagem de estudantes que a obteve).

xˉ=∑i(xi⋅pi)\bar{x} = \sum_{i} (x_i \cdot p_i)

De onde vem cada valor: xix_i = enunciado: notas 60, 70, 80, 90, 100 · pip_i = enunciado: percentuais 0,10; 0,20; 0,25; 0,30; 0,15

xˉ=60⋅0,10+70⋅0,20+80⋅0,25+90⋅0,30+100⋅0,15=82 pontos\bar{x} = 60 \cdot 0{,}10 + 70 \cdot 0{,}20 + 80 \cdot 0{,}25 + 90 \cdot 0{,}30 + 100 \cdot 0{,}15 = \boxed{82\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter os percentuais para decimais (usar 10 em vez de 0,10) ou somar os percentuais errado.

Passo 2 — Calcular a mediana

A mediana é o valor central dos dados ordenados. Como temos percentuais, acumulamos as frequências até ultrapassar 50%.

Por que esta fórmula: A mediana é o valor da classe cuja frequência acumulada atinge ou ultrapassa 50%.

mediana=xk tal que Fk≥50%\text{mediana} = x_k \text{ tal que } F_k \geq 50\%

De onde vem cada valor: FkF_k = passo 1: frequências acumuladas: 10%, 30%, 55%, 85%, 100%

F1=10%,F2=30%,F3=55%⇒k=3=80 pontosF_1=10\%, F_2=30\%, F_3=55\% \Rightarrow k=3 = \boxed{80\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a mediana é a média entre 80 e 90 (85) ou a moda (90).

Passo 3 — Subtrair a mediana da média

A questão pede a diferença entre a média e a mediana, então subtraímos os valores obtidos.

Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente a subtração entre os dois valores.

diferenc¸a=xˉ−mediana\text{diferença} = \bar{x} - \text{mediana}

De onde vem cada valor: xˉ\bar{x} = passo 1: 82 · mediana\text{mediana} = passo 2: 80

diferenc¸a=82−80=2 pontos\text{diferença} = 82 - 80 = \boxed{2\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada (mediana - média) ou errar a subtração.

Resposta: 2 pontos, alternativa A

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