Matemática Financeira · FGV · 2024 | Questão sqc-fg075169

GabaritoB — do valor atual da série de rendas postecipadas, multiplicado por (1 + i).

Matemática Financeira – Séries Uniformes: Rendas Antecipadas e Postecipadas

Gabarito: letra B. O valor atual de uma série de rendas antecipadas difere do valor atual de uma série postecipada pelo fator $(1+i)$ . Na série antecipada, os pagamentos ocorrem no início de cada período, o que faz com que cada prestação seja capitalizada por um período adicional em relação à série postecipada. Assim, o valor atual da série antecipada é obtido multiplicando-se o valor atual da série postecipada por $(1+i)$ .

A fórmula fundamental para o valor presente de uma série uniforme postecipada de $n$ pagamentos iguais a $P$ , a uma taxa $i$ , é:

VP_{\text{post}} = P \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i(1+i)^n} = P \cdot a_{n \neg i}

Para a série antecipada, temos:

VP_{\text{ant}} = P \cdot (1+i) \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i(1+i)^n} = VP_{\text{post}} \cdot (1+i)

1Série postecipada (pagamentos no fim)
2VP_post = P × a(n¬i)
3Série antecipada (pagamentos no início)
4VP_ant = VP_post × (1+i)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que os valores atuais das séries antecipada e postecipada são iguais. Erro: ignora o fator de capitalização $(1+i)$ . Na antecipada, o primeiro pagamento ocorre em $t=0$ , gerando um valor presente maior.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta. Conforme demonstrado, o valor atual da série antecipada é exatamente o valor atual da série postecipada multiplicado por $(1+i)$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Propõe obter o valor atual a partir do valor futuro multiplicado pelo "fator de valor atual". O fator de valor atual (ou fator de desconto) é usado para trazer um único valor futuro para o presente, não para uma série de pagamentos. Além disso, a relação correta entre valor atual e futuro de uma série é: $VP = VF \cdot (1+i)^{-n}$ , que não é simplesmente multiplicar pelo fator de valor atual de uma série (que é $a_{n\neg i}$ ).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Sugere dividir o valor futuro pelo "fator de recuperação do capital". O fator de recuperação do capital é $1 / a_{n\neg i}$ e é usado para calcular a prestação a partir do valor presente ( $P = VP / a_{n\neg i}$ ). Não há relação direta com o valor futuro para se obter o valor atual.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Multiplicar o valor da renda (prestação) pelo "fator de acumulação de capital" resulta no valor futuro da série, não no valor atual. O fator de acumulação é $s_{n\neg i} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}$ , que aplicado à prestação dá o montante futuro.

Conclusão: A única alternativa que expressa corretamente a relação entre o valor atual de uma série antecipada e o de uma série postecipada é a letra B.