Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2024

Desconto Racional Simples

Gabarito: letra B. No desconto racional simples (por dentro), o desconto é calculado sobre o valor atual: $D = A \cdot i \cdot n$. Com $A = 2000$, $i = 1\%$ a.m. e $n = 10$ meses, temos $D = 2000 \times 0{,}01 \times 10 = 200$. O valor de face (nominal) é $N = A + D = 2000 + 200 = 2200$. Portanto, desconto de R$ 200,00 e valor de face de R$ 2.200,00.

A operação de desconto é a antecipação do resgate de um título antes do vencimento. O valor de face (ou valor nominal, $N$) é o valor que consta no título e que será pago no vencimento. O valor atual (ou valor presente, $A$) é o valor líquido recebido hoje, já abatido o desconto. O desconto ($D$) é a diferença entre eles: $D = N - A$.

No desconto racional simples (também chamado de desconto "por dentro"), o desconto é calculado sobre o valor atual, como se fosse o juro simples sobre o capital inicial. As fórmulas são:

• $D = A \cdot i \cdot n$

• $N = A \cdot (1 + i \cdot n)$

A pegadinha clássica da banca é confundir o desconto racional com o desconto comercial simples ("por fora"), no qual o desconto é calculado sobre o valor nominal: $D = N \cdot i \cdot n$. Nesta questão, o enunciado deixa explícito que se trata de desconto racional simples, então o cálculo deve partir do valor atual.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor do desconto está correto (R$ 200,00), mas o valor de face está errado: se o valor atual é R$ 2.000,00 e o desconto é R$ 200,00, o valor de face é $N = A + D = 2000 + 200 = 2200$, não R$ 2.000,00. A alternativa confunde o valor atual com o valor de face.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando as fórmulas do desconto racional simples:

$D = A \cdot i \cdot n = 2000 \times 0{,}01 \times 10 = 200$

$N = A + D = 2000 + 200 = 2200$

Portanto, desconto de R$ 200,00 e valor de face de R$ 2.200,00.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Os valores R$ 222,22 e R$ 2.222,22 correspondem ao cálculo do desconto comercial simples (por fora), não ao racional. No desconto comercial, $D = N \cdot i \cdot n$ e $A = N \cdot (1 - i \cdot n)$. Resolvendo com $A = 2000$ e $i = 1\%$, $n = 10$: $N = \frac{2000}{1 - 0{,}01 \times 10} = \frac{2000}{0{,}9} = 2222{,}22$ e $D = 2222{,}22 \times 0{,}01 \times 10 = 222{,}22$. A banca trocou o regime de desconto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor do desconto R$ 222,22 é o do desconto comercial, e o valor de face R$ 2.000,00 é o valor atual, não o nominal. Duplo erro: regime errado e confusão entre valor atual e valor de face.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os valores R$ 209,24 e R$ 2.209,24 não correspondem a nenhuma fórmula padrão de desconto simples. Parecem ter sido obtidos por um cálculo equivocado, talvez usando juros compostos ou uma taxa mal aplicada. Não há previsão para esses valores na operação descrita.

Gabarito: letra B