Matemática Financeira · FGV · 2024 | Questão sqc-fg075422

Juros Compostos

Gabarito: letra E. O capital C é de R$ 80.000,00, valor que é múltiplo de 25. A taxa anual de juros compostos é de 10% a.a., obtida a partir da relação entre os juros do primeiro ano (R$ 8.000,00) e os juros do terceiro ano (R$ 9.680,00).

Resolução

Seja $C$ o capital inicial e $i$ a taxa anual de juros compostos.

Juros do ano 0 para o ano 1: $J_1 = C \cdot i = 8000$ → $C = \frac{8000}{i}$ .
Montante após 2 anos: $M_2 = C(1+i)^2$ .
Montante após 3 anos: $M_3 = C(1+i)^3$ .
Juros do ano 2 para o ano 3: $J_3 = M_3 - M_2 = C(1+i)^2 \cdot i = 9680$ .

Substituindo $C$ :

\frac{8000}{i} \cdot (1+i)^2 \cdot i = 8000 \cdot (1+i)^2 = 9680

(1+i)^2 = \frac{9680}{8000} = 1,21

1+i = 1,1 \quad \Rightarrow \quad i = 0,1 = 10\% \text{ a.a.}

Então:

C = \frac{8000}{0,1} = 80.000

Agora, verificamos de qual número 80.000 é múltiplo:

Número	Divisão	Múltiplo?
75	80.000 ÷ 75 ≈ 1066,67	❌
55	80.000 ÷ 55 ≈ 1454,55	❌
45	80.000 ÷ 45 ≈ 1777,78	❌
35	80.000 ÷ 35 ≈ 2285,71	❌
25	80.000 ÷ 25 = 3200,00	✅

Portanto, C é múltiplo de 25.

Análise das Alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

80.000 não é divisível por 75 (resultado não inteiro).

Alternativa B — ❌ Incorreta

80.000 não é divisível por 55.

Alternativa C — ❌ Incorreta

80.000 não é divisível por 45.

Alternativa D — ❌ Incorreta

80.000 não é divisível por 35.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

80.000 ÷ 25 = 3200, inteiro, confirmando que C é múltiplo de 25.

Gabarito: letra E.