Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2024

Taxa Interna de Retorno (TIR)

Gabarito: letra D. A TIR desse projeto é exatamente 15% a.a., o que a situa entre 14,5% e 16,5% a.a. Obtém-se esse valor resolvendo a equação do VPL igual a zero: $-80.000 + \frac{12.000}{1+IRR} + \frac{92.000}{(1+IRR)^2} = 0$. A solução algébrica (equação do 2º grau) fornece $IRR = 0,15 = 15\%$.

A questão testa a capacidade de calcular a TIR de um fluxo de caixa simples. O fluxo apresenta um investimento inicial (R$ 80.000,00) e dois recebimentos: R$ 12.000,00 no ano 1 e R$ 92.000,00 no ano 2. Para encontrar a TIR, basta igualar o VPL a zero e resolver para a taxa.

Resolução passo a passo:

1. Equação do VPL:

   $VPL = -80.000 + \frac{12.000}{1+i} + \frac{92.000}{(1+i)^2} = 0$

1. Multiplicando tudo por $(1+i)^2$:

   $-80.000(1+i)^2 + 12.000(1+i) + 92.000 = 0$

1. Seja $x = 1+i$. Então:

   $-80.000x^2 + 12.000x + 92.000 = 0$

   Dividindo por 1.000:

   $-80x^2 + 12x + 92 = 0$

   Multiplicando por -1:

   $80x^2 - 12x - 92 = 0$

   Simplificando por 4:

   $20x^2 - 3x - 23 = 0$

1. Aplicando Bhaskara:

   $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot 20 \cdot 23}}{2 \cdot 20} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 1840}}{40} = \frac{3 \pm \sqrt{1849}}{40}$

   $\sqrt{1849} = 43$ (pois $43^2 = 1849$).

1. A raiz positiva:

   $x = \frac{3 + 43}{40} = \frac{46}{40} = 1,15$

1. Como $x = 1+i$, temos $i = 0,15 = 15\%$.

Portanto, a TIR é exatamente 15% a.a., que está no intervalo da alternativa D (14,5% a 16,5% a.a.).

Alternativas:

Alternativa A — ❌ Incorreta

A TIR é 15%, não está entre 8,5% e 10,5%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A TIR é 15%, não está entre 10,5% e 12,5%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A TIR é 15%, não está entre 12,5% e 14,5%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A TIR de 15% situa-se exatamente no intervalo de 14,5% a 16,5% a.a.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A TIR é 15%, não está entre 16,5% e 18,5%.

Gabarito: letra D