GabaritoB — 20% da renda.
Gabarito: letra B. Na função utilidade Cobb-Douglas U(x,y) = x³y¹², a parcela da renda gasta com o bem x é dada pela razão entre o expoente de x e a soma dos expoentes: a/(a+b) = 3/(3+12) = 3/15 = 1/5 = 20%. Este é um resultado clássico da teoria do consumidor: para preferências Cobb-Douglas, as despesas com cada bem são proporcionais aos seus respectivos expoentes.
A regra geral para a função Cobb-Douglas U(x,y) = x^a y^b é que, no ponto ótimo (dada uma restrição orçamentária Px·x + Py·y = M), as quantidades demandadas são:
x* = (a/(a+b))·(M/Px)
y* = (b/(a+b))·(M/Py)
Assim, o gasto com x é Px·x* = (a/(a+b))·M, ou seja, uma fração a/(a+b) da renda. Analogamente, o gasto com y é (b/(a+b))·M.
Na questão, a = 3 e b = 12, logo a parcela destinada a x é 3/(3+12) = 3/15 = 0,2 = 20% da renda.
Afirma que o gasto com x é 10% da renda. Isso corresponderia a um expoente a = 1 e b = 9 (1/10), ou a uma interpretação equivocada da fórmula. O correto é 20%.
Exatamente como calculado: 20% da renda é gasto no bem x, conforme a regra (a/(a+b)).
30% da renda seria o resultado se a = 3 e b = 7 (3/10), ou se o aluno somasse os expoentes erradamente (3/10 em vez de 3/15).
50% da renda implicaria a = b, ou seja, expoentes iguais (ex.: 3 e 3). Aqui os expoentes são 3 e 12, portanto a participação de x é bem menor.
80% da renda seria o gasto com y (12/15 = 0,8). O aluno pode ter trocado os bens: a parcela de y é 80%, mas a questão pergunta especificamente pelo bem x.
Em questões com função utilidade Cobb-Douglas, identifique rapidamente os expoentes e aplique a fórmula da participação: gasto com bem i = (expoente_i / soma dos expoentes) × renda. Sempre confira qual bem é solicitado para não inverter a resposta.
Gabarito: letra B.
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