Questão de Matemática — Progressão Aritmética - PA — FGV 2024

Sequência alternada: duas progressões entrelaçadas

Gabarito: letra A — o primeiro termo negativo aparece na 28ª posição. A sequência alterna duas progressões aritméticas independentes: nas posições ímpares os termos crescem de 1 em 1 (13, 14, 15, 16, 17, ...) e nas posições pares decrescem de 1 em 1 (12, 11, 10, 9, ...). O primeiro termo negativo surge na progressão decrescente, que ocupa as posições pares, e isso ocorre quando o termo vale 0 (posição 26) e depois −1 (posição 28).

A sequência dada é: 13, 12, 14, 11, 15, 10, 16, 9, 17, ... Repare que ela não é uma progressão aritmética única — a razão alterna entre −1 e +2. O truque é quebrar a sequência em duas subsequências, uma com os termos de posição ímpar e outra com os de posição par:

• Posições ímpares (1ª, 3ª, 5ª, 7ª, 9ª, ...): 13, 14, 15, 16, 17, ... → PA de razão +1, sempre crescente, nunca fica negativa.

• Posições pares (2ª, 4ª, 6ª, 8ª, 10ª, ...): 12, 11, 10, 9, ... → PA de razão −1, decrescente, é aqui que aparecem os negativos.

A pergunta é: em qual posição da sequência original aparece o primeiro termo negativo? Vamos analisar a progressão decrescente. O termo geral da PA de posições pares, considerando o índice $k$ dessa subsequência (k = 1 para o 12, k = 2 para o 11, etc.), é:

Queremos o menor $k$ tal que $a_k < 0$:

Portanto, o primeiro termo negativo dessa subsequência ocorre em $k = 14$. Mas $k$ conta a posição dentro da subsequência par, não na sequência original. Como cada termo da subsequência par ocupa uma posição par na sequência original, a posição original é $2k$. Assim:

O primeiro termo negativo é o 28º termo da sequência original. Vamos conferir: o 26º termo (k = 13) é $13 - 13 = 0$, e o 28º termo (k = 14) é $13 - 14 = -1$. Portanto, o primeiro negativo aparece na posição 28.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A 28ª posição é exatamente onde aparece o primeiro termo negativo. Como vimos, a subsequência das posições pares decresce de 1 em 1: o 26º termo é 0 e o 28º termo é −1. Nenhuma posição anterior tem valor negativo, pois as posições ímpares são sempre positivas (crescem de 1 em 1 a partir de 13) e as posições pares só chegam a 0 na 26ª posição.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A 27ª posição é um termo da subsequência ímpar (13, 14, 15, ...), que é sempre crescente e positiva. O 27º termo é o 14º termo da subsequência ímpar: $13 + (14-1) \cdot 1 = 26$. Portanto, não pode ser negativo. O erro aqui é contar a posição errada — o primeiro negativo está na posição par seguinte (28ª).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A 26ª posição é o 13º termo da subsequência par: $12 + (13-1) \cdot (-1) = 0$. O termo é zero, não negativo. A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o parar no zero, mas a pergunta pede o primeiro termo negativo, que só aparece na posição 28.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A 15ª posição é um termo da subsequência ímpar: $13 + (8-1) \cdot 1 = 20$. É um número positivo e distante de zero. Essa alternativa provavelmente surge de um erro de interpretação do padrão, como se a sequência fosse uma única PA decrescente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A 14ª posição é o 7º termo da subsequência par: $12 + (7-1) \cdot (-1) = 6$. É positivo. Novamente, um erro de interpretação do padrão, talvez confundindo a posição na subsequência com a posição na sequência original.

Gabarito: letra A