Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2024

Relação entre taxa nominal, inflação e taxa real com imposto

Gabarito: letra A (15%). A taxa real de 60% após imposto e inflação é obtida pela relação de Fisher: $(1 + r) = \frac{1 + i_n}{1 + \pi}$, onde (i_n) é a taxa nominal líquida do imposto. A taxa nominal bruta é 80%; aplicando o imposto de alíquota (t), temos $i_n = 0,8 \cdot (1 - t)$. Com inflação de 5% e real de 60%, calcula-se (t = 15\%).

A resolução envolve a equação fundamental da Matemática Financeira que relaciona taxa real, taxa aparente (nominal) e inflação:

[ $1 + \text{taxa real}$ = $\frac{1 + \text{taxa nominal líquida}}{1 + \text{inflação}}$ ]

Substituindo os valores:

$[ 1 + 0,6 = \frac{1 + 0,8 \cdot (1 - t)}{1 + 0,05} ]$

$[ 1,6 = \frac{1 + 0,8(1 - t)}{1,05} ]$

$[ 1 + 0,8(1 - t) = 1,6 \times 1,05 = 1,68 ]$

$[ 0,8(1 - t) = 0,68 \quad \Rightarrow \quad 1 - t = \frac{0,68}{0,8} = 0,85 \quad \Rightarrow \quad t = 0,15 = 15\% ]$

Portanto, a alíquota do imposto foi de 15%.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, a alíquota é 15%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

17,5% – valor que não satisfaz a equação; resultaria em taxa real diferente de 60%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

20% – se aplicado, a taxa nominal líquida seria $0,8 \times 0,8 = 0,64$, e a real seria $(1+0,64)/1,05 - 1 \approx 56,2\%$, inferior a 60%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

22,5% – alíquota ainda maior, reduzindo ainda mais o ganho real.