Questão de Estatística — Regressão Linear — FGV 2024

Modelo AR(1): previsão de longo prazo e intercepto

Gabarito: letra E. Em um modelo AR(1) estacionário, a previsão de longo prazo (média incondicional) é dada por $\mu = \frac{\phi_0}{1 - \phi_1}$. Com a previsão de longo prazo de 4% e $\phi_1 = 0{,}8$, temos $0{,}04 = \frac{\phi_0}{1 - 0{,}8}$, o que resulta em $\phi_0 = 0{,}04 \times 0{,}2 = 0{,}008$. Como a rentabilidade é expressa em %, $\phi_0 = 0{,}8\%$ — exatamente a alternativa E.

O modelo AR(1) descreve uma série temporal em que o valor atual depende do valor anterior mais um choque aleatório: $y_t = \phi_0 + \phi_1 y_{t-1} + \varepsilon_t$. A condição de estacionariedade exige $|\phi_1| < 1$, o que é satisfeito aqui ($0{,}8$). Quando o processo é estacionário, a série oscila em torno de uma média constante, chamada de média incondicional ou nível de longo prazo. Essa média é obtida tomando a esperança de ambos os lados da equação: como $E(y_t) = E(y_{t-1}) = \mu$ e $E(\varepsilon_t) = 0$, temos $\mu = \phi_0 + \phi_1 \mu$, o que leva a $\mu = \frac{\phi_0}{1 - \phi_1}$.

A pegadinha da questão está na unidade: o enunciado informa que a previsão de longo prazo é de 4% ao ano, mas o modelo trabalha com a rentabilidade em termos reais. Se você usar 4 (em vez de 0,04), encontrará $\phi_0 = 4 \times 0{,}2 = 0{,}8$, que é exatamente o valor de $\phi_1$ — e é a alternativa E. Mas isso é um erro de unidade: o correto é converter 4% para 0,04 antes de substituir. O resultado $\phi_0 = 0{,}008$ corresponde a 0,8% ao ano, que é a alternativa E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

0,2. Esse valor seria obtido se você calculasse $1 - \phi_1 = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$ e parasse por aí, confundindo o denominador da fórmula com o próprio intercepto. O correto é dividir a previsão de longo prazo por esse fator, não usá-lo diretamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,4. Esse número não tem relação direta com os dados. Poderia surgir de um cálculo equivocado como $\phi_0 = 0{,}04 \times (1 - 0{,}8) \times 10 = 0{,}08$ ou de uma confusão com o coeficiente de correlação, mas não corresponde à fórmula correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,5. Esse valor não é obtido por nenhuma operação simples com os dados fornecidos. Talvez venha de uma tentativa de usar $\phi_0 = \mu \times (1 - \phi_1) \times 100$ com um erro de arredondamento, mas o cálculo correto é $\phi_0 = 0{,}04 \times 0{,}2 = 0{,}008$ (ou 0,8%).

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,6. Esse número também não é suportado pelos dados. Poderia ser uma confusão com o valor de $1 - \phi_1$ se $\phi_1$ fosse 0,4, mas aqui $\phi_1 = 0{,}8$, então $1 - \phi_1 = 0{,}2$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

0,8. A previsão de longo prazo é $\mu = 4\% = 0{,}04$. A fórmula da média incondicional é $\mu = \frac{\phi_0}{1 - \phi_1}$. Substituindo $\phi_1 = 0{,}8$: $0{,}04 = \frac{\phi_0}{1 - 0{,}8} = \frac{\phi_0}{0{,}2}$. Multiplicando ambos os lados por 0,2: $\phi_0 = 0{,}04 \times 0{,}2 = 0{,}008$. Como a rentabilidade é expressa em %, $\phi_0 = 0{,}8\%$. Portanto, a alternativa E está correta.

Gabarito: letra E