Questão de Estatística — Testes de hipóteses — FGV 2024

Covariância entre os estimadores de mínimos quadrados

Gabarito: letra D. A estimativa não viciada da covariância entre $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$ é -15, obtida pela fórmula $\widehat{Cov}(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1) = -\bar{x} \cdot \widehat{Var}(\hat{\beta}_1)$, com $\widehat{Var}(\hat{\beta}_1) = \dfrac{QME}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$ e $QME = \dfrac{SQE}{n-2}$.

A questão cobra a matriz de covariâncias dos estimadores de mínimos quadrados no modelo de regressão linear simples $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$. Quando os pressupostos clássicos são satisfeitos (erros com média zero, variância constante e não correlacionados), os estimadores de mínimos quadrados são não viciados e suas variâncias e covariâncias podem ser estimadas a partir do quadrado médio dos erros (QME). A covariância entre o intercepto e o coeficiente angular é sempre negativa quando a média de $x$ é positiva, refletindo o trade-off no ajuste da reta: um aumento na inclinação tende a reduzir o intercepto para acomodar os mesmos pontos.

A fórmula central é:

onde $\widehat{Var}(\hat{\beta}_1) = \dfrac{QME}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$ e $QME = \dfrac{SQE}{n-2}$, com $SQE = \sum e_i^2$. O divisor $n-2$ é crucial porque o estimador é não viciado: com dois parâmetros estimados, perdem-se dois graus de liberdade. A pegadinha da banca está em usar $n-1$ (como na variância amostral comum) ou esquecer o sinal negativo, o que levaria a um valor positivo ou a um número diferente.

Passo a passo do cálculo

1. Média de x:

2. Soma dos quadrados dos resíduos (SQE):

3. Quadrado médio dos erros (QME):

4. Soma dos quadrados de x:

5. Variância estimada de $\hat{\beta}_1$:

6. Covariância estimada:

Portanto, a estimativa é -15, confirmando a alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor -4 não corresponde a nenhuma combinação plausível dos dados. Se o aluno tivesse usado $n-1$ no QME, obteria $QME = 6/2 = 3$, e com $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 2/3$, a variância seria $3 / (2/3) = 4,5$, e a covariância $-1,6667 \times 4,5 = -7,5$, que não é -4. O número -4 parece um distrator aleatório, sem base nos cálculos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor -5 também não deriva de nenhum cálculo correto. Se o aluno esquecesse o sinal negativo, obteria +15, não -5. Se usasse $n-1$ e arredondasse a média de x para 1,67, teria $-1,67 \times 4,5 = -7,5$, ainda distante de -5. É um distrator puro, sem correspondência com os dados.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor -10 poderia surgir de um erro no cálculo de $\sum (x_i - \bar{x})^2$: se o aluno calculasse $\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 9 - 3 \times (25/9) = 9 - 25/3 = 2/3$, correto, mas se errasse para $1$, teria $\widehat{Var}(\hat{\beta}_1) = 6/1 = 6$ e covariância $-1,6667 \times 6 = -10$. Ou seja, -10 é o resultado de um erro na soma dos quadrados de x, tratando-a como 1 em vez de 2/3.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o cálculo correto é: $\bar{x} = 5/3$, $SQE = 6$, $QME = 6$, $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 2/3$, $\widehat{Var}(\hat{\beta}_1) = 9$, e $\widehat{Cov}(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1) = -(5/3) \times 9 = -15$. O sinal negativo é esperado porque $\bar{x} > 0$, e o divisor $n-2$ garante a não viés. A alternativa espelha exatamente o resultado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor -20 seria obtido se o aluno usasse $QME = SQE/(n-1) = 6/2 = 3$ e, em seguida, errasse $\sum (x_i - \bar{x})^2$ para $0,5$, resultando em $\widehat{Var}(\hat{\beta}_1) = 3/0,5 = 6$ e covariância $-1,6667 \times 6 = -10$, não -20. Para chegar a -20, seria necessário $\widehat{Var}(\hat{\beta}_1) = 12$, o que exigiria $QME = 8$ ou $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 0,5$ com $QME = 6$, mas $QME = 6$ com $\sum = 0,5$ daria $\widehat{Var} = 12$ e covariância $-20$. Isso ocorreria se o aluno errasse a soma dos quadrados de x para $0,5$ em vez de $2/3$. É um distrator que combina dois erros.

Gabarito: letra D