Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg077315

Teste de hipóteses para a média com variância conhecida

Gabarito: letra C. O auditor rejeitará a hipótese nula (média populacional igual a 4) em favor da alternativa (média inferior a 4) ao nível de 10% se a média amostral for menor ou igual a 2,4. Isso decorre do teste Z unilateral à esquerda: com variância populacional conhecida (σ² = 25), a estatística de teste é $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ , e o valor crítico para α = 0,10 é $z_{0,10} = -1,28$ .

O problema é um clássico de teste de hipóteses para a média populacional quando a variância é conhecida. A hipótese nula é $H_0: \mu = 4$ e a alternativa é $H_1: \mu < 4$ (teste unilateral à esquerda). Como a população é Normal e a variância é conhecida, a estatística de teste segue distribuição Normal padrão sob $H_0$ :

Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)

A região crítica (rejeição de $H_0$ ) é formada pelos valores de $\bar{X}$ suficientemente pequenos, tais que $Z < -z_{\alpha}$ . Para α = 0,10, o valor crítico é $z_{0,10} = 1,28$ (área de 0,10 à esquerda de -1,28 na Normal padrão).

O valor crítico para a média amostral é obtido isolando $\bar{X}$ :

\bar{X}_{crítico} = \mu_0 - z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Substituindo os valores: $\mu_0 = 4$ , $\sigma = 5$ (pois σ² = 25), $n = 16$ e $z_{0,10} = 1,28$ :

\bar{X}_{crítico} = 4 - 1,28 \cdot \frac{5}{\sqrt{16}} = 4 - 1,28 \cdot \frac{5}{4} = 4 - 1,28 \cdot 1,25 = 4 - 1,6 = 2,4

Portanto, o auditor obterá evidência de que a média populacional é inferior a 4 se a média amostral for menor ou igual a 2,4.

Teste de hipóteses para média — só Região de rejeição: ≤ 2,4; só Região de aceitação: > 2,4; Região de rejeição∩Região de aceitação: 2,4

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1,6 corresponde apenas ao termo $z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,28 \times 1,25 = 1,6$ , ou seja, é a distância entre a média sob $H_0$ (4) e o valor crítico (2,4). O candidato que calcula apenas esse produto e esquece de subtrair de $\mu_0$ cai nessa alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1,8 não corresponde a nenhum cálculo direto do problema. Pode ser um distrator obtido por erro de arredondamento ou por uso incorreto do valor crítico (por exemplo, usando $z = 1,65$ para α = 0,05, o que daria $4 - 1,65 \times 1,25 = 1,9375$ , próximo, mas não exato). Não há fundamento estatístico para esse valor.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o valor crítico é $\bar{X}_{crítico} = 4 - 1,28 \times 1,25 = 2,4$ . Qualquer média amostral menor ou igual a 2,4 resulta em $Z \leq -1,28$ , caindo na região de rejeição de $H_0$ ao nível de 10%. É exatamente o que a alternativa afirma.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 3,6 seria obtido se o candidato usasse $z_{0,10} = 0,32$ (erro de leitura da tabela) ou se confundisse o teste unilateral com um bilateral de 20% (onde $z = 0,84$ , dando $4 - 0,84 \times 1,25 = 2,95$ , ainda não 3,6). Também poderia vir de usar $\sigma = 5$ sem dividir por $\sqrt{n}$ , resultando em $4 - 1,28 \times 5 = -2,4$ (sinal trocado). Nenhum cálculo legítimo produz 3,6.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 5,6 é maior que a média sob $H_0$ (4). Em um teste unilateral à esquerda, a região crítica só contém valores menores que $\mu_0$ . Uma média amostral de 5,6 estaria na região de aceitação (ou até indicaria média superior, o que contraria a hipótese alternativa). O candidato que soma em vez de subtrair ( $4 + 1,6 = 5,6$ ) cai nessa armadilha.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora dois erros clássicos: (1) esquecer de dividir o desvio padrão pela raiz do tamanho da amostra, tratando $\sigma/\sqrt{n}$ como se fosse apenas $\sigma$ ; (2) inverter o sinal da operação, somando o termo crítico em vez de subtrair (o que levaria à alternativa E). O teste é unilateral à esquerda, então o valor crítico fica abaixo de $\mu_0 = 4$ . Com treino, você identifica que a região crítica de um teste $H_1: \mu < \mu_0$ sempre está à esquerda da média nula 💪.

PEGA ESSA DICA!

Para testes de hipóteses com variância conhecida, memorize o passo a passo: (1) identifique o tipo de teste (unilateral ou bilateral); (2) encontre o valor crítico $z_{\alpha}$ na tabela Normal; (3) calcule o erro padrão $\sigma/\sqrt{n}$ ; (4) monte a equação $\bar{X}_{crítico} = \mu_0 \pm z \cdot \sigma/\sqrt{n}$ , usando o sinal conforme a direção da hipótese alternativa. Em provas, os distratores costumam ser: o termo isolado (1,6), o valor com sinal trocado (5,6) e valores de outros níveis de significância.

Gabarito: letra C