Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2024

Teste de hipóteses para a média com variância desconhecida (t de Student)

Gabarito: letra D. A conjectura de que a valorização média é superior a 15% foi evidenciada apenas ao nível de significância de 10%. Como o desvio padrão populacional é desconhecido e a amostra é pequena (n = 16), a estatística de teste segue distribuição t de Student com 15 graus de liberdade. O valor calculado da estatística é t = 1,70, que supera o valor crítico t(0,10; 15) = 1,341, mas não supera os valores críticos para 5% (1,753) e 1% (2,947).

A questão envolve um teste de hipóteses unilateral à direita para a média populacional, quando a variância é desconhecida. Nesse cenário, a estatística de teste é dada por:

em que $\bar{x}$ é a média amostral, $\mu_0$ é o valor testado sob a hipótese nula, $s$ é o desvio padrão amostral e $n$ é o tamanho da amostra. A estatística segue distribuição t de Student com $n - 1$ graus de liberdade.

Substituindo os valores do enunciado:

O valor crítico da distribuição t com 15 graus de liberdade para um teste unilateral à direita é:

• para $\alpha = 0,01$: $t_{0,01;15} = 2,947$

• para $\alpha = 0,05$: $t_{0,05;15} = 1,753$

• para $\alpha = 0,10$: $t_{0,10;15} = 1,341$

Como $t = 1,70$ é maior que 1,341, rejeita-se a hipótese nula ao nível de 10%. Porém, é menor que 1,753 e 2,947, portanto não se rejeita a hipótese nula aos níveis de 5% e 1%. Assim, a conjectura é evidenciada apenas ao nível de 10%.

A pegadinha da questão está em reconhecer que, com desvio padrão desconhecido e amostra pequena, não se usa a distribuição normal padrão (valores 1,64 e 1,28), mas sim a distribuição t de Student, cujos valores críticos são maiores para amostras pequenas. A alternativa D apresenta exatamente os valores críticos corretos para 15 graus de liberdade.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a conjectura foi evidenciada aos níveis 0,05 e 0,1, usando valores críticos 1,64 e 1,28. Esses valores são da distribuição normal padrão (para 5% e 10% unilaterais), mas o desvio padrão é desconhecido e a amostra é pequena, então o correto é usar a distribuição t. Além disso, o valor calculado (1,70) não supera o valor crítico t para 5% (1,753), então a conjectura não é evidenciada a esse nível.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a conjectura foi evidenciada apenas ao nível 0,1, mas usa valores críticos 1,96 e 1,64. O valor 1,96 é o valor crítico da normal para um teste bilateral a 5%, e 1,64 é o valor crítico da normal para unilateral a 5%. Novamente, a distribuição correta é a t de Student, e os valores críticos apresentados não correspondem aos da t com 15 graus de liberdade.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a conjectura foi evidenciada apenas ao nível 0,1, mas usa valores críticos 1,64 e 1,28, que são da distribuição normal padrão. Apesar de a conclusão (apenas ao nível 0,1) estar correta, os valores críticos estão errados, pois deveriam ser os da distribuição t de Student (1,753 e 1,341).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta a conclusão correta (evidenciada apenas ao nível 0,1) e os valores críticos corretos da distribuição t de Student com 15 graus de liberdade: 1,753 para 5% e 1,341 para 10%. O valor calculado t = 1,70 supera 1,341, mas não supera 1,753, confirmando a rejeição apenas ao nível de 10%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a conjectura não foi evidenciada a nenhum nível, usando valores 2,947, 2,131 e 1,753. O valor 2,947 é o valor crítico t para 1% (correto), e 1,753 é o valor crítico t para 5% (correto), mas 2,131 é o valor crítico t para 5% com 15 graus de liberdade em teste bilateral, não para 10% unilateral. Além disso, o valor calculado (1,70) supera 1,341 (valor crítico para 10%), então a conjectura é evidenciada ao nível de 10%.

Gabarito: letra D