Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg077317

Intervalo de Confiança para a Variância Populacional

Gabarito: letra D. O limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a variância populacional é, aproximadamente, 28. Para uma amostra de tamanho n = 8, com desvio padrão amostral s = 8, o intervalo é construído usando a distribuição qui-quadrado com n − 1 = 7 graus de liberdade, e o limite inferior é dado por (n−1)·s²/χ²(0,975; 7).

O intervalo de confiança para a variância de uma população Normal é um dos poucos casos em que não usamos a distribuição Normal ou t de Student, mas sim a distribuição qui-quadrado (χ²). Isso ocorre porque a estatística (n−1)·S²/σ² segue uma distribuição qui-quadrado com n−1 graus de liberdade, quando a população é Normal. Essa é a base teórica do intervalo.

A fórmula do intervalo de confiança bilateral para a variância populacional σ² é:

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\, n-1}}, \; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,\, n-1}} \right]

onde:

n é o tamanho da amostra;
S² é a variância amostral;
χ²(α/2, n−1) e χ²(1−α/2, n−1) são os quantis da distribuição qui-quadrado com n−1 graus de liberdade, que deixam, respectivamente, α/2 e 1−α/2 de probabilidade à esquerda.

No problema, temos n = 8, s = 8, logo S² = 64. O nível de confiança é 95%, então α = 0,05 e α/2 = 0,025. Os graus de liberdade são n − 1 = 7.

O limite inferior usa o quantil χ²(0,975; 7), pois queremos o valor que deixa 97,5% da distribuição à esquerda (e 2,5% à direita). O valor tabelado é aproximadamente 16,01. Substituindo:

\text{LI} = \frac{(8-1) \cdot 64}{16,01} = \frac{7 \cdot 64}{16,01} = \frac{448}{16,01} \approx 27,98 \approx 28

Portanto, o limite inferior é aproximadamente 28, o que corresponde à alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 16 é aproximadamente o quantil χ²(0,975; 7) = 16,01, que é o denominador da fórmula do limite inferior, não o próprio limite. O candidato que confunde o quantil com o resultado do intervalo cai nessa alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 20 não corresponde a nenhum cálculo direto da fórmula. Pode surgir de uma aproximação grosseira ou de erro na divisão (por exemplo, usar 448/22 ≈ 20,4, mas 22 não é o quantil correto).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 24 também não corresponde ao cálculo correto. Pode resultar de usar um quantil aproximado incorreto (como 18,7) ou de erro na substituição dos valores.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é (7 × 64)/16,01 ≈ 27,98, que arredondado é 28. Este é o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a variância populacional.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 32 é o desvio padrão amostral ao quadrado dividido por um quantil menor (por exemplo, 64/2 = 32, usando χ² = 2, que não é o quantil correto). Também pode ser uma confusão com o limite superior do intervalo, que seria (7 × 64)/χ²(0,025; 7) = 448/1,69 ≈ 265, bem maior que 32.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o quantil da qui-quadrado e o resultado do intervalo. O valor 16 (alternativa A) é exatamente o quantil χ²(0,975; 7), que aparece no denominador da fórmula, mas não é o limite inferior. Muitos candidatos, ao verem o número 16 na tabela, marcam essa alternativa sem fazer a divisão. Lembre-se: o quantil é o divisor, não o resultado.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de intervalo de confiança da variância, memorize a fórmula e identifique corretamente os quantis. O limite inferior usa χ²(1−α/2) e o superior usa χ²(α/2). Com n = 8, os graus de liberdade são 7, e os quantis típicos são χ²(0,975; 7) ≈ 16,01 e χ²(0,025; 7) ≈ 1,69. Treine com valores tabelados para ganhar velocidade.

Gabarito: letra D.