Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg077318

Estimativa de Máxima Verossimilhança para a Distribuição Gama

Gabarito: letra D. A função de densidade dada é um caso particular da distribuição Gama (com parâmetro de forma 2), cuja média é $E[X] = 2/\theta$ . Igualando a média teórica à média amostral de 400 dias, obtemos $2/\theta = 400$ , logo $\hat{\theta}_{MV} = 2/400 = 1/200$ . A estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro é obtida pelo método dos momentos, que coincide com o EMV para essa família exponencial.

A questão envolve reconhecer a distribuição subjacente e usar a relação entre o parâmetro e a média. A densidade $f(x) = \theta^2 x e^{-\theta x}$ , para $x>0$ , é a densidade de uma variável aleatória com distribuição Gama de parâmetros $\alpha = 2$ e $\beta = \theta$ (na parametrização em que a densidade é $f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$ ). Para essa distribuição, a média é $E[X] = \alpha/\beta = 2/\theta$ .

O método da máxima verossimilhança consiste em escolher o valor do parâmetro que maximiza a probabilidade (ou densidade) de a amostra observada ter sido obtida. Para uma amostra aleatória simples $X_1, \dots, X_n$ , a função de verossimilhança é o produto das densidades:

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta^2 x_i e^{-\theta x_i} = \theta^{2n} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right) e^{-\theta \sum x_i}.

Tomando o logaritmo natural:

\ln L(\theta) = 2n \ln \theta + \sum \ln x_i - \theta \sum x_i.

Derivando em relação a $\theta$ e igualando a zero:

\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{2n}{\theta} - \sum x_i = 0 \Rightarrow \hat{\theta}_{MV} = \frac{2n}{\sum x_i} = \frac{2}{\bar{x}}.

Como a média amostral foi de 400 dias, temos:

\hat{\theta}_{MV} = \frac{2}{400} = \frac{1}{200}.

A pegadinha da banca está em confundir a média da distribuição com o inverso do parâmetro, como ocorre na distribuição exponencial. Na exponencial, a média é $1/\lambda$ , e o EMV de $\lambda$ é $1/\bar{x}$ . Aqui, porém, o fator $x$ na densidade (que corresponde ao parâmetro de forma 2) faz com que a média seja $2/\theta$ , e não $1/\theta$ . Quem aplicasse a fórmula da exponencial obteria $1/400$ , que é a alternativa E, um distrator clássico.

1Identificar a distribuição
2Média teórica = 2/θ
3Igualar à média amostral (400)
4θ̂ = 2/400 = 1/200

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $1/40$ corresponderia a uma média de $2/(1/40) = 80$ dias, o que não condiz com a média amostral de 400 dias. Esse número não tem relação direta com o problema; provavelmente é um distrator aleatório.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $1/80$ implicaria uma média de $2/(1/80) = 160$ dias, também incompatível com os 400 dias observados. Novamente, é um distrator sem fundamento nos dados.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $1/100$ daria uma média de $2/(1/100) = 200$ dias, metade da média amostral. Esse número poderia ser obtido se o candidato confundisse a média com $1/\theta$ e ainda errasse o cálculo, mas não corresponde à resposta correta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o EMV é $\hat{\theta}_{MV} = 2/\bar{x} = 2/400 = 1/200$ . Esse valor satisfaz a relação entre a média teórica e a média amostral, sendo a estimativa que maximiza a verossimilhança da amostra.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $1/400$ é o inverso da média amostral, que seria o EMV se a distribuição fosse exponencial (média $1/\theta$ ). Aqui, porém, a densidade tem o fator $x$ , o que desloca a média para $2/\theta$ . Esse é o distrator mais perigoso, pois atrai quem aplica a fórmula da exponencial sem verificar a forma da densidade.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a distribuição exponencial e a Gama com forma 2. Na exponencial, o EMV do parâmetro é o inverso da média amostral; aqui, é o dobro do inverso. Se você decorou a fórmula da exponencial, vai cair na alternativa E. Lembre-se: sempre identifique a distribuição pela densidade antes de aplicar qualquer fórmula.

PEGA ESSA DICA!

Para distribuições da família exponencial, o EMV frequentemente coincide com o método dos momentos. Quando a densidade tem a forma $f(x) = c \cdot x^{k} e^{-\theta x}$ , a média é $(k+1)/\theta$ . Use essa relação para resolver rapidamente: iguale a média teórica à média amostral e isole o parâmetro.

Gabarito: letra D