Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg077319

Método dos Momentos para Estimação de θ

Gabarito: letra B. Pelo método dos momentos, igualamos o momento amostral de primeira ordem (a média amostral) ao momento populacional teórico $E[X]$ . Para a densidade $f(x) = (\theta+1)x^{\theta}$ com $0 < x < 1$ , temos $E[X] = \frac{\theta+1}{\theta+2}$ . Igualando à média amostral $\bar{x} = 0{,}4$ , obtemos $\frac{\theta+1}{\theta+2} = 0{,}4$ , o que resulta em $\theta = -\frac{1}{3}$ .

O método dos momentos é uma técnica de estimação pontual que consiste em igualar os momentos populacionais (teóricos) aos momentos amostrais (empíricos). Para um parâmetro desconhecido, usamos o primeiro momento: a média populacional $E[X]$ é igualada à média amostral $\bar{x}$ . A partir dessa igualdade, resolvemos a equação para encontrar o estimador do parâmetro.

No caso, a função de densidade é uma família de potências em $(0,1)$ , que é um caso particular da distribuição Beta. O momento de primeira ordem é calculado por:

E[X] = \int_0^1 x \cdot (\theta+1)x^{\theta} \, dx = (\theta+1) \int_0^1 x^{\theta+1} \, dx = (\theta+1) \cdot \frac{1}{\theta+2} = \frac{\theta+1}{\theta+2}

A média amostral dos cinco valores é:

\bar{x} = \frac{0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}6 + 0{,}7 + 0{,}2}{5} = \frac{2{,}0}{5} = 0{,}4

Igualando os dois momentos:

\frac{\theta+1}{\theta+2} = 0{,}4 = \frac{2}{5}

Resolvendo:

5(\theta+1) = 2(\theta+2) \Rightarrow 5\theta + 5 = 2\theta + 4 \Rightarrow 3\theta = -1 \Rightarrow \theta = -\frac{1}{3}

A pegadinha clássica da banca é inverter a fração ou errar o sinal ao resolver a equação. O candidato pode, por exemplo, escrever $E[X] = \frac{\theta+2}{\theta+1}$ ou esquecer de multiplicar cruzado, obtendo valores como $\frac{2}{3}$ ou $\frac{1}{3}$ . A chave é montar a integral corretamente e isolar $\theta$ com atenção.

1Calcular E[X] = (θ+1)/(θ+2)
2Média amostral x̄ = 0,4
3Igualar e isolar θ
4θ = -1/3

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $-\frac{2}{3}$ não satisfaz a equação. Se $\theta = -\frac{2}{3}$ , então $E[X] = \frac{-2/3+1}{-2/3+2} = \frac{1/3}{4/3} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ , que não corresponde à média amostral de $0{,}4$ . Esse valor surge de um erro de sinal ou de uma inversão na resolução da equação.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\theta = -\frac{1}{3}$ é a única solução da equação $\frac{\theta+1}{\theta+2} = 0{,}4$ . Verificação: $E[X] = \frac{-1/3+1}{-1/3+2} = \frac{2/3}{5/3} = \frac{2}{5} = 0{,}4$ , exatamente a média amostral.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{3}$ é o oposto do correto. Se $\theta = \frac{1}{3}$ , então $E[X] = \frac{1/3+1}{1/3+2} = \frac{4/3}{7/3} = \frac{4}{7} \approx 0{,}571$ , que não é $0{,}4$ . Esse distrator explora a troca de sinal na resolução da equação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2}{5}$ é justamente a média amostral $\bar{x}$ , não o parâmetro $\theta$ . O candidato que confunde o momento amostral com o parâmetro cai nessa alternativa. A média amostral é o valor que igualamos a $E[X]$ , não o valor de $\theta$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2}{3}$ é o resultado de uma inversão típica: se o aluno escrever $E[X] = \frac{\theta+2}{\theta+1}$ (invertendo a fração), a equação $\frac{\theta+2}{\theta+1} = 0{,}4$ leva a $\theta = \frac{2}{3}$ . É o erro mais comum nesse tipo de questão.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a inversão da fração $E[X]$ e a confusão entre média amostral e parâmetro. Na alternativa E, o valor $\frac{2}{3}$ é exatamente o que se obtém ao inverter a expressão correta. Na alternativa D, o valor $\frac{2}{5}$ é a média amostral, não $\theta$ . Fique atento: o método dos momentos iguala $E[X]$ a $\bar{x}$ , e a solução da equação é que fornece o estimador.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de método dos momentos, siga o roteiro: (1) calcule $E[X]$ integrando $x \cdot f(x)$ no domínio; (2) calcule a média amostral; (3) iguale e resolva para o parâmetro. Sempre confira se o valor encontrado faz sentido no domínio (aqui, $\theta > -1$ para a densidade ser válida, e $-1/3$ atende).

Gabarito: letra B