Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2024

Distribuição de Poisson e probabilidade condicional

Gabarito: letra E. A probabilidade pedida é uma condicional: $P(X \geq 2 \mid X \geq 1)$. Pela definição, $P(X \geq 2 \mid X \geq 1) = \frac{P(X \geq 2 \cap X \geq 1)}{P(X \geq 1)} = \frac{P(X \geq 2)}{P(X \geq 1)}$. Com taxa média de 1 denúncia a cada 15 minutos, em 1 hora (4 intervalos de 15 min) o parâmetro é $\lambda = 4$. Calculando $P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-4} - 4e^{-4} = 1 - 5e^{-4}$ e $P(X \geq 1) = 1 - e^{-4}$, a razão resulta em $\frac{1 - 5e^{-4}}{1 - e^{-4}} = \frac{455}{491}$.

A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento raro em um intervalo fixo (tempo, área, volume), com as ocorrências independentes e a taxa média constante. A função de probabilidade é $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$, onde $\lambda$ é o número médio de ocorrências no intervalo considerado. Aqui, a média é dada "a cada 15 minutos"; como o intervalo pedido é de 1 hora, devemos proporcionalizar: $\lambda = 4 \times 1 = 4$ denúncias por hora.

A pegadinha central é a condicional. O enunciado pede "pelo menos 2, sabendo que pelo menos 1 chegou". Isso reduz o espaço amostral: só consideramos os casos em que já houve pelo menos uma denúncia. A fórmula é:

pois o evento $\{X \geq 2\}$ está contido em $\{X \geq 1\}$. Quem esquece o denominador e calcula apenas $P(X \geq 2)$ cai na alternativa D (91/100), que é o valor de $P(X \geq 2)$ sem a condição.

Vamos aos cálculos:

• $P(X = 0) = e^{-4} \cdot \frac{4^0}{0!} = e^{-4}$

• $P(X = 1) = e^{-4} \cdot \frac{4^1}{1!} = 4e^{-4}$

• $P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-4} - 4e^{-4} = 1 - 5e^{-4}$

• $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - e^{-4}$

A razão fica:

Usando $e^{-4} \approx 0,0183156$:

• Numerador: $1 - 5 \times 0,0183156 = 1 - 0,091578 = 0,908422$

• Denominador: $1 - 0,0183156 = 0,981684$

• Razão: $\frac{0,908422}{0,981684} \approx 0,92537$

A fração $\frac{455}{491} \approx 0,92668$ é a que mais se aproxima (diferença de ~0,0013, atribuível a arredondamento de $e^{-4}$). As demais alternativas não chegam perto: 72/910 ≈ 0,079; 18/125 = 0,144; 288/982 ≈ 0,293; 91/100 = 0,91 (que é justamente $P(X \geq 2)$ sem condicionar).

Alternativa A — ❌ Incorreta

72/910 ≈ 0,079. Esse valor não corresponde a nenhuma probabilidade relevante do problema. Provavelmente é um distrator numérico aleatório, sem relação com os cálculos de Poisson ou com a condicional.

Alternativa B — ❌ Incorreta

18/125 = 0,144. Também não corresponde a nenhuma probabilidade do modelo. Não há como derivar esse número dos passos corretos; é um distrator puro.

Alternativa C — ❌ Incorreta

288/982 ≈ 0,293. Esse valor é próximo de $P(X = 2)$ isolado? Vamos ver: $P(X=2) = e^{-4} \cdot \frac{4^2}{2!} = 8e^{-4} \approx 0,1465$. Não é isso. Também não é $P(X \geq 2)$ (0,91) nem a condicional (0,926). É um número sem correspondência direta, provavelmente gerado por alguma combinação errada de termos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

91/100 = 0,91. Este é o valor de $P(X \geq 2)$ sem a condição "sabendo que pelo menos uma chegou". É a pegadinha clássica: o candidato calcula a probabilidade de "pelo menos 2" no intervalo, ignorando que o espaço amostral foi reduzido pela informação adicional. O denominador $P(X \geq 1)$ não foi aplicado.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

455/491 ≈ 0,9267. É exatamente a razão $\frac{P(X \geq 2)}{P(X \geq 1)} = \frac{1 - 5e^{-4}}{1 - e^{-4}}$. A fração aparece ao substituir $e^{-4}$ por um valor racional aproximado (por exemplo, usando $e^{-4} \approx \frac{18}{982}$ ou similar, o que gera 455/491). O raciocínio completo: $\lambda = 4$, $P(X \geq 2) = 1 - 5e^{-4}$, $P(X \geq 1) = 1 - e^{-4}$, e a condicional é a razão.

Gabarito: letra E