Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg077321

Distribuição exponencial e a mediana (tempo até metade dos resgates)

Gabarito: letra C. O tempo até que metade dos investidores solicite o resgate é a mediana da distribuição, ou seja, o valor $m$ tal que $P(T \le m) = 0{,}5$ . Como a densidade dada é $f(t) = 0{,}05e^{-0{,}05t}$ (exponencial com parâmetro $\lambda = 0{,}05$ ), a função de distribuição acumulada é $F(t) = 1 - e^{-0{,}05t}$ ; igualando a $0{,}5$ e resolvendo, obtém-se $m = \frac{\ln 2}{0{,}05} \approx 13{,}86$ meses, aproximadamente 14 meses.

A questão trabalha com a distribuição exponencial, um dos modelos contínuos mais cobrados em estatística para tempos de vida ou de espera. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) geral é $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ , para $t > 0$ , com $\lambda > 0$ . Aqui, $\lambda = 0{,}05$ (a taxa de ocorrência do evento por mês).

A função de distribuição acumulada (f.d.a.) é obtida integrando a densidade de $0$ até $t$ :

F(t) = P(T \le t) = \int_0^t 0{,}05 e^{-0{,}05u}\,du = 1 - e^{-0{,}05t}

A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio: $F(m) = 0{,}5$ . Resolvendo:

1 - e^{-0{,}05m} = 0{,}5 \Rightarrow e^{-0{,}05m} = 0{,}5 \Rightarrow -0{,}05m = \ln(0{,}5) = -\ln 2 \Rightarrow m = \frac{\ln 2}{0{,}05} \approx \frac{0{,}6931}{0{,}05} = 13{,}86

Portanto, o período aproximado é de 14 meses.

A pegadinha clássica aqui é confundir a mediana com a média (ou valor esperado) da exponencial, que é $E[T] = 1/\lambda = 1/0{,}05 = 20$ meses. A média é maior que a mediana porque a distribuição exponencial é assimétrica à direita (cauda longa). Outra confusão comum é usar $\ln(0{,}5)$ sem o sinal negativo, o que levaria a um valor negativo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

7 meses não corresponde à mediana. Esse valor seria obtido se alguém calculasse $0{,}5/0{,}05 = 10$ e depois subtraísse algo, ou se confundisse com o primeiro quartil (que é $\ln(4)/0{,}05 \approx 27{,}7$ meses, não 7). Não há base estatística para esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

11 meses também não é a mediana. Poderia surgir de um erro de cálculo, como usar $\ln(1{,}5)/0{,}05 \approx 8{,}1$ ou aproximações grosseiras. O valor correto é $13{,}86$ meses.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

14 meses é a aproximação correta da mediana, pois $\ln 2 / 0{,}05 \approx 13{,}86$ , que arredonda para 14. É o tempo em que a probabilidade acumulada atinge 50%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

18 meses não é a mediana. Esse valor se aproxima de $\ln(2{,}5)/0{,}05 \approx 18{,}3$ , mas não corresponde a nenhuma medida de posição usual da exponencial. A média é 20, a mediana é 13,86.

Alternativa E — ❌ Incorreta

20 meses é exatamente a média (valor esperado) da distribuição exponencial, $E[T] = 1/\lambda = 20$ . A banca coloca esse valor justamente para testar se o candidato sabe diferenciar média de mediana. Como a distribuição é assimétrica à direita, a média (20) é maior que a mediana (≈14).

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre mediana e média na exponencial. A média é $1/\lambda = 20$ meses (alternativa E), mas a pergunta pede o tempo até a metade dos investidores, que é a mediana ( $F(m)=0{,}5$ ). Lembre-se: na exponencial, a mediana é sempre menor que a média, pois a distribuição tem cauda longa à direita. Com treino, você identifica essa troca na hora! 💪

PEGA ESSA DICA!

Para a exponencial, decore as duas fórmulas: média $= 1/\lambda$ e mediana $= \ln(2)/\lambda$ . Na prova, identifique se a pergunta fala em "metade" (mediana) ou "valor esperado/médio" (média). Se pedir a mediana, use $\ln 2 \approx 0{,}693$ ; se pedir a média, use $1/\lambda$ .

Gabarito: letra C