Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2024

Distribuição Binomial e Valor Esperado

Gabarito: letra A. O número de acertos de cada candidato segue uma distribuição binomial com $n=6$ tentativas e probabilidade de sucesso $p=1/4$ (uma alternativa correta entre quatro). A probabilidade de aprovação é $P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$, que resulta em $\frac{107}{4096}$. Multiplicando pelo total de 2.048 candidatos, obtemos o valor esperado de aprovados: $2048 \times \frac{107}{4096} = 53,5$, que não corresponde a nenhuma alternativa. No entanto, o gabarito oficial é a letra A (77), o que sugere que a banca considerou a probabilidade de aprovação como $\frac{154}{4096}$ (ou $\frac{77}{2048}$), possivelmente por um erro de cálculo ou arredondamento. Vamos analisar o método correto e a possível origem do gabarito.

A questão envolve a distribuição binomial, que modela o número de sucessos em $n$ tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso $p$. Aqui, cada questão é uma tentativa, e acertar é o sucesso, com $p = 1/4$. O número de acertos $X$ de um candidato segue $X \sim \text{Binomial}(n=6, p=1/4)$. A probabilidade de um candidato ser aprovado é a probabilidade de acertar pelo menos 4 questões, ou seja, $P(X \geq 4)$.

Calculamos essa probabilidade somando as probabilidades de $X=4$, $X=5$ e $X=6$:

• $P(X=4) = \binom{6}{4} (1/4)^4 (3/4)^2 = 15 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{9}{16} = \frac{135}{4096}$

• $P(X=5) = \binom{6}{5} (1/4)^5 (3/4)^1 = 6 \cdot \frac{1}{1024} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{4096}$

• $P(X=6) = \binom{6}{6} (1/4)^6 (3/4)^0 = 1 \cdot \frac{1}{4096} \cdot 1 = \frac{1}{4096}$

Somando: $P(X \geq 4) = \frac{135 + 18 + 1}{4096} = \frac{154}{4096} = \frac{77}{2048}$.

Portanto, a probabilidade de aprovação é $\frac{77}{2048} \approx 0,0376$ (3,76%). O valor esperado do número de aprovados entre os 2.048 candidatos é dado por $E[\text{Aprovados}] = 2048 \times \frac{77}{2048} = 77$. Esse é exatamente o valor da alternativa A. Note que a fração $\frac{154}{4096}$ simplifica para $\frac{77}{2048}$, e ao multiplicar por 2048, obtemos 77. Portanto, o gabarito está correto, e a minha primeira impressão de que o resultado era 53,5 estava equivocada — o cálculo correto é 77.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem calcular a probabilidade de aprovação como $P(X \geq 4)$ e obter $\frac{154}{4096}$, mas ao multiplicar por 2048, podem errar a simplificação ou o cálculo, chegando a valores como 85, 98, 116 ou 128. A alternativa A (77) é a única que corresponde ao valor esperado correto.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade de um candidato acertar pelo menos 4 questões é $P(X \geq 4) = \frac{154}{4096} = \frac{77}{2048}$. O valor esperado do número de aprovados é $2048 \times \frac{77}{2048} = 77$. Portanto, a alternativa A está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 85 não corresponde ao valor esperado calculado. Se o candidato calcular a probabilidade de aprovação como $\frac{170}{4096}$ (que seria $P(X \geq 4)$ se considerasse $p=1/3$ ou outro valor), poderia chegar a 85, mas com $p=1/4$ o valor correto é 77.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 98 também não corresponde ao valor esperado. Pode surgir de um erro ao calcular a probabilidade de aprovação, como considerar $P(X \geq 4) = \frac{196}{4096}$, que não é o caso.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 116 não é o valor esperado. Pode resultar de um erro na soma das probabilidades ou na multiplicação pelo total de candidatos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 128 é um distrator comum, pois é a metade de 256 (que seria o número esperado de acertos totais se cada candidato acertasse em média 1,5 questões, mas não é o número de aprovados). O valor esperado de aprovados é 77.

Gabarito: letra A