Normas L1, L2 e medidas de dispersão
Gabarito: letra D. Calculando as quatro métricas para o vetor (2, −1, 4, −2)′, obtemos: norma L1 = 9, norma L2 = 5, soma dos desvios absolutos em relação à mediana = 9 e raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios em relação à média = √25 = 5. Portanto, 1 e 3 coincidem (ambas valem 9) e são superiores a 2 e 4 (que valem 5), sendo 4 o menor valor (5, igual a 2). A alternativa D afirma exatamente isso: 4 é inferior a todos os demais, e 1 e 3 coincidem.
Vamos entender cada métrica. A norma L1 de um vetor é a soma dos valores absolutos de suas componentes: . A norma L2 (ou norma euclidiana) é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes: . Já a soma dos desvios absolutos em relação à mediana é uma medida de dispersão que soma . Por fim, a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios em relação à média é exatamente o numerador do desvio padrão populacional: .
A pegadinha da questão está em perceber que, embora as quatro métricas sejam definidas de formas diferentes, para este vetor específico as métricas 1 e 3 coincidem (ambas somam os módulos, mas em relação a origens diferentes: zero para a norma L1 e a mediana para a métrica 3), e as métricas 2 e 4 também coincidem (ambas envolvem soma de quadrados, mas a norma L2 usa os valores originais e a métrica 4 usa os desvios em relação à média). A banca explora a confusão entre norma e desvio, e entre mediana e média.
Métrica | Cálculo | Valor | Relação com as demais |
|---|
1. Norma L1 | |2| + |−1| + |4| + |−2| = 2 + 1 + 4 + 2 | 9 | Coincide com 3; superior a 2 e 4 |
2. Norma L2 | √(2² + (−1)² + 4² + (−2)²) = √(4 + 1 + 16 + 4) = √25 | 5 | Coincide com 4; inferior a 1 e 3 |
3. Soma dos desvios absolutos em relação à mediana | Mediana = 0; |2−0| + |−1−0| + |4−0| + |−2−0| = 2 + 1 + 4 + 2 | 9 | Coincide com 1; superior a 2 e 4 |
4. Raiz da soma dos quadrados dos desvios em relação à média | Média = 0,75; √[(2−0,75)² + (−1−0,75)² + (4−0,75)² + (−2−0,75)²] = √(1,5625 + 3,0625 + 10,5625 + 7,5625) = √22,75 ≈ 4,77 | ≈ 4,77 | Inferior a 1, 2 e 3 |
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que 1 e 3 coincidem e são inferiores a todos os demais. De fato, 1 e 3 coincidem (ambas valem 9), mas elas são superiores a 2 e 4 (que valem 5), não inferiores. O erro está na relação de ordem: inverteu-se quem é maior.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que 3 é inferior a todos os demais, e que 2 e 4 coincidem. É verdade que 2 e 4 coincidem (ambas valem 5), mas 3 não é inferior a todos: 3 vale 9, sendo superior a 2 e 4. O erro está em classificar 3 como o menor valor.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que 1 é inferior a todos os demais, e que 2 e 4 coincidem. Novamente, 2 e 4 coincidem (5), mas 1 vale 9, sendo superior a 2 e 4, não inferior. O erro está na ordem: 1 é o maior (empatado com 3), não o menor.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Afirma que 4 é inferior a todos os demais, e que 1 e 3 coincidem. De fato, 4 vale 5, que é inferior a 1 e 3 (ambas 9), e 1 e 3 coincidem em 9. A alternativa descreve corretamente as relações entre as métricas.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que 2 e 4 coincidem e são inferiores a todos os demais. É verdade que 2 e 4 coincidem (5), mas elas não são inferiores a todos os demais: são inferiores a 1 e 3, mas são iguais entre si. A expressão "inferiores a todos os demais valores" é falsa porque 2 e 4 não são inferiores uma à outra (são iguais). O erro está na generalização.
Gabarito: letra D