Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg077327

Critério de Informação Bayesiano (BIC) e seleção de modelos

Gabarito: letra C. O modelo selecionado pelo critério de informação bayesiano (BIC) é aquele que minimiza $BIC = -2\ln(L) + k\ln(n)$ , onde $L$ é o valor maximizado da verossimilhança, $k$ o número de parâmetros e $n$ o tamanho da amostra. Calculando para os cinco modelos com $n=200$ e os logaritmos fornecidos, o menor BIC é o do modelo M3, com $BIC = 1,4 + 10,6 = 12,0$ .

O BIC é um critério de seleção de modelos que equilibra a qualidade do ajuste (medida pela verossimilhança) com a complexidade do modelo (medida pelo número de parâmetros). A fórmula usual é $BIC = -2\ln(L) + k\ln(n)$ . Quanto menor o valor do BIC, melhor o modelo, pois penaliza modelos com muitos parâmetros para evitar overfitting. A banca fornece os logaritmos naturais de 2, 3 e 5 para facilitar o cálculo de $\ln(200)$ , que é necessário para a penalidade.

A pegadinha aqui é dupla: primeiro, muitos candidatos escolhem o modelo com maior verossimilhança (M3 ou M5, ambos com $L=0,5$ ), ignorando a penalidade por complexidade. Segundo, é preciso lembrar que o BIC usa $\ln(n)$ multiplicado pelo número de parâmetros, e não apenas $k$ ou $\ln(L)$ isoladamente. Vamos calcular cada BIC com atenção.

Primeiro, calculamos $\ln(200)$ : $\ln(200) = \ln(2 \cdot 100) = \ln(2) + \ln(100) = 0,7 + \ln(10^2) = 0,7 + 2\ln(10)$ . Como $\ln(10) = \ln(2 \cdot 5) = \ln(2) + \ln(5) = 0,7 + 1,6 = 2,3$ , temos $\ln(200) = 0,7 + 2 \cdot 2,3 = 0,7 + 4,6 = 5,3$ . Alternativamente, $\ln(200) = \ln(8 \cdot 25) = \ln(2^3) + \ln(5^2) = 3\ln(2) + 2\ln(5) = 3 \cdot 0,7 + 2 \cdot 1,6 = 2,1 + 3,2 = 5,3$ . Confirmado: $\ln(200) = 5,3$ .

Agora, para cada modelo, calculamos $-2\ln(L)$ e a penalidade $k \cdot \ln(200) = k \cdot 5,3$ :

Modelo	$k$	$L$	$-2\ln(L)$	$k \cdot 5,3$	BIC
M1	2	0,3	$2,4$	$10,6$	$13,0$
M2	2	0,4	$1,8$	$10,6$	$12,4$
M3	2	0,5	$1,4$	$10,6$	$12,0$
M4	3	0,3	$2,4$	$15,9$	$18,3$
M5	3	0,5	$1,4$	$15,9$	$17,3$

O menor BIC é o de M3 (12,0), portanto Alexandre seleciona o modelo M3.

Alternativa A — ❌ Incorreta

M1 tem verossimilhança 0,3 e 2 parâmetros. Seu BIC é 13,0, maior que o de M3. O erro aqui seria escolher pelo menor $L$ ou por algum outro critério, mas o BIC de M1 não é o mínimo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

M2 tem verossimilhança 0,4 e 2 parâmetros. Seu BIC é 12,4, ainda maior que o de M3. Apesar de ter melhor verossimilhança que M1, a penalidade é a mesma (mesmo $k$ ), e o BIC fica acima do de M3.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

M3 tem verossimilhança 0,5 e 2 parâmetros. Seu BIC é 12,0, o menor entre todos. É o modelo que melhor equilibra ajuste e parcimônia segundo o critério BIC.

Alternativa D — ❌ Incorreta

M4 tem verossimilhança 0,3 e 3 parâmetros. Seu BIC é 18,3, o maior de todos. A penalidade extra por ter 3 parâmetros (15,9) torna o modelo muito pior, mesmo com a mesma verossimilhança de M1.

Alternativa E — ❌ Incorreta

M5 tem verossimilhança 0,5 e 3 parâmetros. Seu BIC é 17,3, maior que o de M3. Embora tenha a mesma verossimilhança de M3, o parâmetro adicional aumenta a penalidade em 5,3, fazendo o BIC subir de 12,0 para 17,3.

NÃO CAIA NESSA!

A banca coloca M3 e M5 com a mesma verossimilhança (0,5) para tentar o candidato a escolher pelo maior $L$ ou pelo menor número de parâmetros sem calcular o BIC. Mas o BIC penaliza a complexidade: M5 tem 3 parâmetros, então seu BIC é maior. Sempre calcule o BIC completo, não apenas compare verossimilhanças.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de BIC, lembre-se: menor BIC vence. Monte uma tabela com $k$ , $L$ , $-2\ln(L)$ , $k\ln(n)$ e some. Use os logaritmos fornecidos para decompor $\ln(n)$ (ex.: $\ln(200) = 3\ln(2) + 2\ln(5)$ ). Isso evita erros de conta e garante a resposta.

Gabarito: letra C