Questão de Matemática Financeira — Sistema de Amortização Constante (SAC) — FGV 2024

Sistemas de Amortização – SAC e SAM: Cálculo do Valor do Empréstimo

Gabarito: letra E (entre R$ 14.800 e R$ 15.200). Com os dados fornecidos (3ª prestação no SAC = R$ 3.200,00; 3ª prestação no SAM = R$ 3.175,00; taxa de 7% a.a.; prazo de 6 anos), o valor do empréstimo é R$ 15.000,00, confirmado tanto pelo SAC quanto pelo SAM.

Resolução passo a passo

1. Cálculo pelo SAC

No SAC, a amortização é constante: (A = \frac{E}{n}), com (n=6).

A 3ª prestação é: (P_3 = A + J_3).

Os juros da 3ª parcela incidem sobre o saldo devedor após 2 amortizações: [J_3 = i \cdot (E - 2A) = 0,07 \cdot \left(E - 2\cdot\frac{E}{6}\right) = 0,07\cdot\frac{2E}{3} = \frac{0,14E}{3}.]

Portanto: [P_3 = \frac{E}{6} + \frac{0,14E}{3} = \frac{E}{6} + \frac{0,28E}{6} = \frac{1,28E}{6}.]

Dado (P_3 = 3.200): [\frac{1,28E}{6} = 3.200 \Rightarrow E = 3.200 \times \frac{6}{1,28} = 3.200 \times 4,6875 = 15.000.]

2. Confirmação pelo SAM

No SAM, cada prestação é a média aritmética das prestações correspondentes no SAC e no Sistema Francês (Price).

[P_3^{SAM} = \frac{P_3^{SAC} + P_3^{Price}}{2}.]

Substituindo os valores: [3.175 = \frac{3.200 + P_3^{Price}}{2} \Rightarrow P_3^{Price} = 2\times3.175 - 3.200 = 3.150.]

No Sistema Price, as prestações são constantes: [PMT = E \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}.]

Com (i=0,07), (n=6) e ((1,07)^6 = 1,5) (dado): [PMT = E \cdot \frac{0,07 \times 1,5}{1,5 - 1} = E \cdot \frac{0,105}{0,5} = 0,21E.]

Igualando a (P_3^{Price} = 3.150): [0,21E = 3.150 \Rightarrow E = \frac{3.150}{0,21} = 15.000.]

Conclusão

O valor do empréstimo é R$ 15.000,00, que está contido no intervalo da alternativa E (R$ 14.800 a R$ 15.200).

Gabarito: letra E.