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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg078124
Banca
FGV
Órgão
Câmara Municipal de São Paulo - SP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Técnico Legislativo - Taquigrafia
Por defeito de fabricação, uma moeda, ao ser lançada, apresenta diferentes probabilidades para os resultados CARA e COROA.Sabe-se que, em um lançamento dessa moeda, o resultado COROA é três vezes mais provável que o resultado CARA.Caso a tal moeda seja lançada duas vezes em sequência, a probabilidade de que se obtenham resultados distintos nos dois lançamentos é
  1. A2/3.
  2. B2/9.
  3. C3/8.
  4. D3/16.
  5. E4/9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 3/8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 3/8 (alternativa C).

A ideia por trás

Probabilidade é a medida de quão provável um evento é, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando uma moeda é viciada, as faces não têm a mesma chance; aqui, COROA é três vezes mais provável que CARA, então as probabilidades não são 1/2 e 1/2. A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é sempre 1, o que permite descobrir cada probabilidade individual. Em dois lançamentos independentes, a probabilidade de uma sequência específica é o produto das probabilidades de cada lançamento, e eventos mutuamente exclusivos (como as duas ordens possíveis) têm probabilidades somadas. Nesta questão, precisamos primeiro achar P(CARA) e P(COROA) usando a razão dada, depois calcular a chance de sair uma cara e uma coroa em qualquer ordem.

O que a questão dá

  • COROA é três vezes mais provável que CARA

  • dois lançamentos em sequência

O que queremos: a probabilidade de obter resultados distintos nos dois lançamentos

Passo 1 — Definir as probabilidades das faces

Precisamos saber a chance de cada face antes de calcular a probabilidade de sequências. Como a moeda é viciada, não podemos assumir 1/2 para cada; a razão dada é a chave para descobrir os valores.

Por que esta fórmula: Seja p = P(CARA). Como COROA é três vezes mais provável, P(COROA) = 3p. A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é 1, então p + 3p = 1.

p+3p=1p + 3p = 1

De onde vem cada valor: pp = definido como P(CARA) · 3p3p = enunciado: COROA é três vezes mais provável que CARA

p+3p=1p + 3p = 1
p=1 /4p = \boxed{1\ /4}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que P(CARA) = 1/2, ignorando a informação de que a moeda é viciada.

Passo 2 — Calcular a probabilidade de cada face

Com a equação resolvida, temos os valores individuais que serão usados nas multiplicações dos próximos passos.

Por que esta fórmula: Da equação 4p = 1, isolamos p dividindo por 4. Depois, P(COROA) = 3p.

P(CARA)=14,P(COROA)=34P(CARA) = \frac{1}{4}, \quad P(COROA) = \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: P(CARA)P(CARA) = passo 1: p = 1/4 · P(COROA)P(COROA) = passo 1: 3p = 3 × 1/4 = 3/4

P(CARA)=14,P(COROA)=34P(CARA) = \frac{1}{4}, \quad P(COROA) = \frac{3}{4}

P(CARA) = 1/4, P(COROA) = 3/4

NÃO CAIA NESSA!

Confundir a razão: usar P(COROA) = 1/3 e P(CARA) = 2/3, invertendo a ordem.

Passo 3 — Calcular a probabilidade de uma sequência específica

Para obter resultados distintos, precisamos da chance de sair CARA no primeiro e COROA no segundo (ou vice-versa). Como os lançamentos são independentes, multiplicamos as probabilidades.

Por que esta fórmula: A probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem em sequência é o produto das probabilidades individuais.

P(CARA e COROA)=P(CARA)×P(COROA)P(CARA \text{ e } COROA) = P(CARA) \times P(COROA)

De onde vem cada valor: P(CARA)P(CARA) = passo 2: 1/4 · P(COROA)P(COROA) = passo 2: 3/4

P(CARA e COROA)=14×34=316=3 /16P(CARA \text{ e } COROA) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16} = \boxed{3\ /16}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 1/2 para as probabilidades, esquecendo que a moeda é viciada.

Passo 4 — Calcular a probabilidade da outra ordem

Resultados distintos podem ocorrer em duas ordens: CARA-COROA ou COROA-CARA. Precisamos da probabilidade da segunda ordem também.

Por que esta fórmula: A probabilidade de COROA no primeiro e CARA no segundo é o produto das probabilidades, pela mesma independência.

P(COROA e CARA)=P(COROA)×P(CARA)P(COROA \text{ e } CARA) = P(COROA) \times P(CARA)

De onde vem cada valor: P(COROA)P(COROA) = passo 2: 3/4 · P(CARA)P(CARA) = passo 2: 1/4

P(COROA e CARA)=34×14=316=3 /16P(COROA \text{ e } CARA) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16} = \boxed{3\ /16}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a ordem não importa e usar apenas uma sequência, esquecendo a outra.

Passo 5 — Somar as probabilidades das duas ordens

As duas sequências (CARA-COROA e COROA-CARA) são mutuamente exclusivas — não podem ocorrer ao mesmo tempo — então a probabilidade de obter resultados distintos é a soma delas.

Por que esta fórmula: Para eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades individuais.

P(distintos)=P(CARA e COROA)+P(COROA e CARA)P(\text{distintos}) = P(CARA \text{ e } COROA) + P(COROA \text{ e } CARA)

De onde vem cada valor: P(CARAeCOROA)P(CARA e COROA) = passo 3: 3/16 · P(COROAeCARA)P(COROA e CARA) = passo 4: 3/16

P(distintos)=316+316=616=38=3 /8P(\text{distintos}) = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = \boxed{3\ /8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar as duas ordens, ficando com 3/16 (alternativa D).

Resposta: 3/8 (alternativa C)

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