Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg078715

Juros Simples: encontrando o capital

Gabarito: letra D — o capital C vale R$ 27.000,00, que está entre R$ 26.750,00 e R$ 27.250,00. A resolução usa a fórmula de juros simples $J = C \cdot i \cdot n$ e a relação entre montante e juros para montar um sistema de equações.

A ideia por trás

Em juros simples, os juros são sempre calculados sobre o capital inicial, ou seja, crescem de forma linear com o tempo. Isso significa que, se em 10 meses o rendimento é R$ 5.400,00, em 12 meses o rendimento será maior — e a diferença entre os dois rendimentos é proporcional ao tempo adicional. Essa linearidade é a chave para resolver o problema sem precisar calcular a taxa explicitamente.

Vamos organizar os dados:

10 meses: rendimento (juros) $J_{10} = 5.400$ .
12 meses: montante $M_{12} = 33.480$ .

O montante é a soma do capital com os juros: $M = C + J$ . Assim, para 12 meses:

C + J_{12} = 33.480

Como os juros são proporcionais ao tempo, podemos relacionar $J_{12}$ com $J_{10}$ :

\frac{J_{12}}{12} = \frac{J_{10}}{10} \Rightarrow J_{12} = \frac{12}{10} \cdot 5.400 = 6.480

Agora substituímos na equação do montante:

C + 6.480 = 33.480 \Rightarrow C = 33.480 - 6.480 = 27.000

Portanto, o capital é R$ 27.000,00, que se encaixa no intervalo da alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que C é menor que R$ 25.750,00. O valor encontrado é R$ 27.000,00, bem acima desse limite. O erro aqui é subestimar o capital, provavelmente por um cálculo incorreto dos juros de 12 meses.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que C está entre R$ 25.750,00 e R$ 26.250,00. Novamente, o valor correto (R$ 27.000,00) está fora desse intervalo. Quem erra aqui pode ter usado apenas os juros de 10 meses (R$ 5.400) e subtraído do montante de 12 meses, obtendo R$ 28.080,00, ou feito outra combinação equivocada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que C está entre R$ 26.250,00 e R$ 26.750,00. O capital correto é R$ 27.000,00, que fica acima desse intervalo. Esse distrator pode atrair quem calculou os juros de 12 meses como R$ 6.480, mas errou na subtração (por exemplo, 33.480 − 6.480 = 27.000, mas se confundiu e usou 33.480 − 6.750 = 26.730).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O capital é R$ 27.000,00, que está entre R$ 26.750,00 e R$ 27.250,00. A resolução correta:

Juros em 10 meses: $J_{10} = 5.400$ .
Como os juros são proporcionais ao tempo, $J_{12} = \frac{12}{10} \cdot 5.400 = 6.480$ .
Montante em 12 meses: $M_{12} = C + J_{12} = 33.480$ .
Logo, $C = 33.480 - 6.480 = 27.000$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que C é maior que R$ 27.250,00. O valor correto é R$ 27.000,00, que fica abaixo desse limite. Esse distrator pode atrair quem somou os juros de 10 meses ao montante de 12 meses (33.480 + 5.400 = 38.880) ou fez outra operação equivocada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não pede a taxa de juros, e muitos candidatos tentam calculá-la primeiro, perdendo tempo. A sacada é usar a proporcionalidade dos juros simples: como o rendimento é linear, os juros de 12 meses são diretamente proporcionais aos de 10 meses. Quem tenta achar a taxa acaba se enroscando em contas desnecessárias. Fique atento: em juros simples, a relação entre juros e tempo é sempre uma regra de três direta.

PEGA ESSA DICA!

Quando o problema der juros em um prazo e montante em outro, monte o sistema: $J_1 = C \cdot i \cdot n_1$ e $M_2 = C + C \cdot i \cdot n_2$ . Divida uma equação pela outra para eliminar $C \cdot i$ e achar a taxa, ou use a proporção direta entre os juros, como fizemos aqui. Treine esse tipo de questão para ganhar agilidade.

Gabarito: letra D