Matemática Financeira · FGV · 2024 | Questão sqc-fg078901

Séries Uniformes de Pagamentos – Valor Presente

Gabarito: letra B. A diferença entre os valores presentes de uma série antecipada e uma postecipada de mesmo valor P e número de pagamentos é dada por Δ = P × (1 – (1+i)^{-n}). Com i = 12% a.m., n = 22 e Δ = R$ 2.220,00, e sabendo que 1,12²² = 12,1, calcula-se P = R$ 2.420,00.

Fórmulas envolvidas

Para uma série uniforme de n pagamentos iguais a P, à taxa i:

Valor presente postecipado (pagamentos ao fim de cada período):
$VP_{\text{post}} = P \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$

Valor presente antecipado (pagamentos ao início de cada período):
$VP_{\text{ant}} = VP_{\text{post}} \times (1+i) = P \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i)$

Diferença entre os dois:
$\Delta = VP_{\text{ant}} - VP_{\text{post}} = P \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times i = P \times (1 - (1+i)^{-n})$

Cálculo

Dados:

i = 12% ao mês = 0,12
n = 22 meses
Δ = R$ 2.220,00
(1,12)^{22} = 12,1 (dado na questão)

Substituindo:

\Delta = P \times \left(1 - \frac{1}{1,12^{22}}\right) = P \times \left(1 - \frac{1}{12,1}\right) = P \times \frac{12,1 - 1}{12,1} = P \times \frac{11,1}{12,1}

Assim:

2.220 = P \times \frac{11,1}{12,1} \quad \Rightarrow \quad P = 2.220 \times \frac{12,1}{11,1}

Simplificando a fração: $\frac{12,1}{11,1} = \frac{121}{111}$ . Como $2.220 \div 111 = 20$ , temos:

P = 20 \times 121 = 2.420

Portanto, P = R$ 2.420,00.

Séries Uniformes — só Antecipada: VP_ant; só Postecipada: VP_post; Antecipada∩Postecipada: Δ=2220

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta (R$ 2.440,00)

Valor próximo, mas incorreto. Pode surgir de erro ao usar $\frac{12}{11}$ em vez de $\frac{12,1}{11,1}$ , ou de arredondamento inadequado.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, P = R$ 2.420,00.

Alternativa C — ❌ Incorreta (R$ 2.400,00)

Resultado de $2.220 \times \frac{12}{11,1} \approx 2.400$ (desconsiderando o valor exato 12,1), ou erro na manipulação algébrica.

Alternativa D — ❌ Incorreta (R$ 2.380,00)

Distrator comum quando se supõe que a diferença entre VP antecipado e postecipado é apenas o primeiro pagamento (P), ignorando o fator $(1-(1+i)^{-n})$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta (R$ 2.360,00)

Outro distrator derivado de erro similar ao da alternativa D, com alguma imprecisão adicional.

PEGA ESSA DICA!

Lembre-se de que a diferença entre as séries antecipada e postecipada é sempre $P \times (1 - (1+i)^{-n})$ , que é exatamente o valor dos juros sobre o VP postecipado. Em provas, esse tipo de questão exige apenas a aplicação direta da fórmula, sem necessidade de cálculos extensos.

Gabarito: letra B