Questão de Estatística — Propriedades dos estimadores — FGV 2024

Consistência do estimador de MQO

Gabarito: letra C — estão corretos apenas os itens II e III. A consistência do estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO) exige que a correlação entre as variáveis explicativas e o termo de erro convirja para zero (condição de exogeneidade) e que os erros tenham média zero. A normalidade dos erros não é necessária para a consistência; ela é exigida apenas para a inferência (testes t e F) em amostras pequenas.

A consistência é uma propriedade assintótica: o estimador converge em probabilidade para o verdadeiro parâmetro quando o tamanho da amostra tende ao infinito. Formalmente, um estimador $^\theta$ é consistente se $\text{plim}\,^\theta = \theta$, o que equivale a dizer que sua esperança tende ao parâmetro e sua variância tende a zero conforme $n \to \infty$. No contexto do modelo de regressão linear clássico, as condições suficientes para a consistência do estimador de MQO são:

1. Exogeneidade estrita ou contemporânea: a correlação entre as variáveis explicativas e o termo de erro deve ser nula (ou convergir para zero). Se houver correlação entre $X$ e o erro, o estimador de MQO torna-se viesado e inconsistente — é o problema clássico de endogeneidade.

2. Média condicional zero: $E(u|X) = 0$, o que implica que o erro tem média zero. Essa condição garante que o intercepto seja identificado e que não haja viés sistemático.

A normalidade dos erros não é necessária para a consistência. O estimador de MQO é consistente mesmo que os erros não sejam normais, desde que as condições de momentos sejam satisfeitas. A normalidade é necessária apenas para a realização de testes de hipóteses e construção de intervalos de confiança em amostras pequenas (quando se usa a distribuição t). Em amostras grandes, o Teorema Central do Limite garante a normalidade assintótica dos estimadores, independentemente da distribuição dos erros.

A banca explora exatamente essa confusão: o candidato que associa a normalidade dos erros a todas as propriedades do MQO acaba marcando a alternativa que inclui o item I. Mas a consistência é uma propriedade assintótica que não depende da forma da distribuição dos erros.

Item I — ❌ Incorreto

A distribuição dos erros não precisa ser Normal para que o estimador de MQO seja consistente. A normalidade é uma hipótese adicional usada para a inferência (testes t e F) em amostras pequenas, mas não é necessária para a consistência. O estimador de MQO é consistente sob condições de momentos (exogeneidade e média zero), independentemente da distribuição dos erros.

Item II — ✅ Correto

A correlação entre as variáveis explicativas e o termo de erro deve convergir para zero. Essa é a condição de exogeneidade, essencial para a consistência. Se houver correlação entre $X$ e o erro, o estimador de MQO será viesado e inconsistente, pois a condição $E(u|X)=0$ é violada.

Item III — ✅ Correto

Os erros devem ter média igual a zero. Essa condição, juntamente com a exogeneidade, garante que o estimador de MQO seja não viesado e consistente. Se a média dos erros for diferente de zero, o intercepto será viesado, mas os coeficientes angulares podem permanecer consistentes se a exogeneidade for mantida. No entanto, a condição de média zero é uma hipótese padrão do modelo clássico.

Conclusão: corretos apenas os itens II e III, portanto a alternativa correta é a letra C.

Gabarito: letra C