Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg079747

Teorema de Bayes: probabilidade a posteriori

Gabarito: letra E. A probabilidade de o microprocessador defeituoso ter sido produzido pela máquina X é 60%. Isso se resolve pelo Teorema de Bayes: a probabilidade a posteriori $P(X|D)$ é a razão entre a probabilidade conjunta de X e defeito e a probabilidade total de defeito. A pegadinha é responder 3% (a taxa de defeito de X) ou 33% (a proporção de produção de X), ignorando que a informação de que o chip é defeituoso altera as probabilidades.

O problema fornece as probabilidades a priori de cada máquina e as taxas de defeito condicionadas à máquina. Como a produção total é de 6 milhões, com 2 milhões de X e 4 milhões de Y, temos:

$P(X) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (probabilidade de um chip qualquer vir de X)
$P(Y) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$P(D|X) = 0{,}03$ (taxa de defeito de X)
$P(D|Y) = 0{,}01$ (taxa de defeito de Y)

Queremos $P(X|D)$ , a probabilidade de o chip ser de X dado que é defeituoso. Pelo Teorema de Bayes:

P(X|D) = \frac{P(D|X) \cdot P(X)}{P(D)}

A probabilidade total de defeito $P(D)$ é calculada pelo Teorema da Probabilidade Total:

P(D) = P(D|X) \cdot P(X) + P(D|Y) \cdot P(Y)

Substituindo:

P(D) = 0{,}03 \cdot \frac{1}{3} + 0{,}01 \cdot \frac{2}{3} = 0{,}01 + 0{,}006666... = 0{,}016666...

Agora, a probabilidade a posteriori:

P(X|D) = \frac{0{,}03 \cdot \frac{1}{3}}{0{,}016666...} = \frac{0{,}01}{0{,}016666...} = 0{,}6 = 60\%

Portanto, a resposta correta é a letra E.

Evento	Probabilidade	Valor
P(X)	Produção de X	1/3
P(Y)	Produção de Y	2/3
P(D\|X)	Defeito dado X	0,03
P(D\|Y)	Defeito dado Y	0,01
P(D)	Probabilidade total de defeito	0,03·(1/3) + 0,01·(2/3) = 0,016667
P(X\|D)	Probabilidade de X dado defeito	0,01 / 0,016667 = 0,6 = 60%

Alternativa A — ❌ Incorreta

1% é a taxa de defeito da máquina Y ( $P(D|Y)$ ). A banca coloca esse valor para confundir quem não percebe que a pergunta é sobre a origem do chip defeituoso, não sobre a taxa de defeito de uma máquina específica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

3% é a taxa de defeito da máquina X ( $P(D|X)$ ). É a resposta intuitiva de quem lê o enunciado rapidamente e acha que a probabilidade pedida é simplesmente a taxa de defeito de X. Mas a pergunta é condicional: dado que o chip é defeituoso, qual a chance de ele ter vindo de X? Isso exige o Teorema de Bayes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

40% não corresponde a nenhuma probabilidade direta do problema. Pode surgir de um cálculo errado, como usar a proporção de produção de X (33%) e ajustar de forma incorreta, ou de uma confusão entre as taxas de defeito. Não há base nos dados para esse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

50% seria a resposta se as máquinas tivessem a mesma taxa de defeito e a mesma produção, ou se a produção fosse igual. Mas aqui X produz 1/3 do total e tem taxa de defeito maior, o que aumenta a probabilidade a posteriori para 60%. A banca coloca 50% como um distrator para quem acha que a resposta é um meio-termo.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

60% é exatamente o resultado do Teorema de Bayes, como calculado acima. A probabilidade de o chip defeituoso ter vindo de X é 60%, pois X contribui com 1% do total de defeitos (0,03 × 1/3 = 0,01) e Y contribui com 0,6667% (0,01 × 2/3 = 0,006667), totalizando 1,6667% de defeitos. A razão 0,01 / 0,016667 = 0,6.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre probabilidade condicional e probabilidade simples. O candidato apressado responde 3% (taxa de defeito de X) ou 33% (proporção de produção de X), sem perceber que a informação de que o chip é defeituoso muda as probabilidades. A chave é identificar que a pergunta é $P(X|D)$ e aplicar Bayes.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de probabilidade condicional, sempre identifique o que é dado e o que é pedido. Escreva as probabilidades conhecidas: $P(X)$ , $P(Y)$ , $P(D|X)$ , $P(D|Y)$ . Se a pergunta é "dado que ocorreu o evento B, qual a chance de A?", use Bayes. Monte a árvore de probabilidades se ajudar: primeiro a máquina, depois o defeito.

Gabarito: letra E