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Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
fg079799
Banca
FGV
Órgão
DATAPREV
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
ATI - Inteligência da Informação
Considere os pontos A(1; 2; 3), B(4; 5; 6), C(7; 2; 1) e D(2; 4; 8), vértices de um tetraedro.O volume deste tetraedro é igual a
  1. A24.
  2. B16.
  3. C12.
  4. D8.
  5. E4.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 8 unidades de volume (alternativa D).

A ideia por trás

O tetraedro é um sólido com quatro faces triangulares, e seu volume pode ser calculado a partir das coordenadas de seus vértices usando vetores. A ideia é escolher um vértice como origem e formar três vetores que partem dele; esses vetores definem um paralelepípedo cujo volume é o módulo do produto misto (determinante da matriz 3x3). O tetraedro ocupa exatamente um sexto desse volume, por isso a fórmula V = (1/6)|det|. O produto misto mede o volume do paralelepípedo, e o fator 1/6 vem da geometria: o tetraedro é uma pirâmide de base triangular, e o volume de qualquer pirâmide é um terço da área da base vezes a altura, o que, no caso, resulta em um sexto do paralelepípedo. Nesta questão, precisamos calcular os vetores AB, AC e AD, montar o determinante, achar seu módulo e dividir por 6.

O que a questão dá

  • A(1; 2; 3)

  • B(4; 5; 6)

  • C(7; 2; 1)

  • D(2; 4; 8)

O que queremos: o volume do tetraedro

Passo 1 — Calcular os vetores AB, AC e AD

Para usar a fórmula do volume por vetores, precisamos de três vetores que partam do mesmo vértice. Escolhemos A como origem e calculamos as diferenças entre as coordenadas de B, C e D e as de A.

Por que esta fórmula: Cada vetor é a diferença entre as coordenadas do ponto final e o inicial: AB = B - A, AC = C - A, AD = D - A.

AB⃗=B−A=(xB−xA,yB−yA,zB−zA)\vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)

De onde vem cada valor: BB = enunciado: B(4; 5; 6) · AA = enunciado: A(1; 2; 3) · CC = enunciado: C(7; 2; 1) · DD = enunciado: D(2; 4; 8)

AB⃗=(4−1,5−2,6−3)=(3,3,3)\vec{AB} = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)

AB = (3, 3, 3), AC = (6, 0, -2), AD = (1, 2, 5)

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem da subtração (ex.: A - B em vez de B - A) inverte o sinal do vetor, o que pode afetar o sinal do determinante, mas o módulo final não muda.

Passo 2 — Montar a matriz do produto misto

O produto misto é o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos três vetores. Precisamos montar essa matriz para calcular o determinante.

Por que esta fórmula: O produto misto de três vetores u, v, w é definido como u · (v × w), que é igual ao determinante da matriz com as coordenadas dos vetores como linhas.

det⁡(AB⃗,AC⃗,AD⃗)=∣33360−2125∣\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 6 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix}

De onde vem cada valor: 3,3,33, 3, 3 = passo 1: AB = (3, 3, 3) · 6,0,−26, 0, -2 = passo 1: AC = (6, 0, -2) · 1,2,51, 2, 5 = passo 1: AD = (1, 2, 5)

∣33360−2125∣\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 6 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem das linhas ou colunas, o que pode mudar o sinal do determinante, mas o módulo continua o mesmo.

Passo 3 — Calcular o determinante da matriz

O determinante é o valor do produto misto, que dá o volume do paralelepípedo. Precisamos calculá-lo numericamente.

Por que esta fórmula: Usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Aqui, expandimos pela primeira linha: det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).

det⁡=3⋅(0⋅5−(−2)⋅2)−3⋅(6⋅5−(−2)⋅1)+3⋅(6⋅2−0⋅1)\det = 3 \cdot (0 \cdot 5 - (-2) \cdot 2) - 3 \cdot (6 \cdot 5 - (-2) \cdot 1) + 3 \cdot (6 \cdot 2 - 0 \cdot 1)

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: primeira coordenada de AB · 0,−2,2,50, -2, 2, 5 = passo 1: coordenadas de AC e AD · 6,5,−2,16, 5, -2, 1 = passo 1: coordenadas de AC e AD · 6,2,0,16, 2, 0, 1 = passo 1: coordenadas de AC e AD

3⋅(0⋅5−(−2)⋅2)−3⋅(6⋅5−(−2)⋅1)+3⋅(6⋅2−0⋅1)=−483 \cdot (0 \cdot 5 - (-2) \cdot 2) - 3 \cdot (6 \cdot 5 - (-2) \cdot 1) + 3 \cdot (6 \cdot 2 - 0 \cdot 1) = \boxed{-48}
NÃO CAIA NESSA!

Errar os sinais ao multiplicar os termos, especialmente com números negativos. Por exemplo, esquecer que (-2) * 2 = -4 e depois subtrair corretamente.

Passo 4 — Tomar o módulo do determinante

O volume é sempre positivo, então precisamos do valor absoluto do determinante, que pode ser negativo dependendo da orientação dos vetores.

Por que esta fórmula: O módulo de um número é sua distância até zero, sempre não negativo. Aqui, | -48 | = 48.

∣det⁡∣=∣−48∣=48|\det| = |-48| = 48

De onde vem cada valor: −48-48 = passo 3: valor do determinante

∣−48∣=48=48|-48| = 48 = \boxed{48}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar o módulo e usar -48, o que daria volume negativo, sem sentido.

Passo 5 — Dividir por 6 para obter o volume

O determinante dá o volume do paralelepípedo, mas o tetraedro é uma pirâmide que ocupa 1/6 desse volume. Por isso dividimos por 6.

Por que esta fórmula: A fórmula do volume do tetraedro é V = (1/6) * |det|. Isso vem do fato de que o tetraedro é uma pirâmide de base triangular, e o volume de uma pirâmide é (1/3) * área da base * altura, o que, em termos de vetores, resulta em 1/6 do paralelepípedo.

V=16⋅∣det⁡∣V = \frac{1}{6} \cdot |\det|

De onde vem cada valor: ∣det⁡∣|\det| = passo 4: 48

V=16⋅48=8V = \frac{1}{6} \cdot 48 = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 6 e marcar 48 ou 24. Lembre-se: o tetraedro é 1/6 do paralelepípedo.

Resposta: 8 unidades de volume (alternativa D)

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