Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 3.400,00 — alternativa C.

A ideia por trás

Este é um problema de otimização: queremos escolher o caminho do fio que custa menos. O fio pode sair de A, atravessar o rio em linha reta até um ponto B na outra margem, e depois seguir por terra até C. Como o fio submerso é mais caro que o terrestre, não convém atravessar no ponto mais próximo de A — às vezes vale a pena andar mais na água para encurtar muito o trecho em terra. O desafio é achar o ponto B que equilibra esses dois custos.

O custo total é a soma de dois trechos: o submerso, que custa R$ 5,00 por metro, e o terrestre, que custa R$ 3,00 por metro. Se chamarmos de x a distância horizontal entre A e B, a distância submersa é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 100 m (largura do rio) e x, ou seja, √(x² + 100²). A distância terrestre é a distância horizontal total L menos x. Assim, o custo é C(x) = 5·√(x² + 100²) + 3·(L − x). Para achar o mínimo, derivamos C em relação a x e igualamos a zero — isso encontra o ponto onde o custo para de diminuir e começa a aumentar.

Esta questão cobra exatamente esse processo: modelar o custo como função de x, derivar, igualar a zero e resolver a equação. O valor de L (distância horizontal total) não é dado diretamente, mas pode ser deduzido do custo mínimo apresentado nas alternativas.

O que a questão dá

• largura do rio = 100 m

• custo do fio na água = R$ 5,00/m

• custo do fio fora da água = R$ 3,00/m

• distância horizontal total entre A e C = 1000 m (deduzida do gabarito)

O que queremos: o menor gasto possível para fazer a ligação

Passo 1 — Modelar o custo total como função de x

Precisamos de uma expressão que relacione o custo com a posição do ponto B. Definimos x como a distância horizontal entre A e B. A distância submersa é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela largura do rio (100 m) e x, então usamos o teorema de Pitágoras. A distância terrestre é o que sobra da distância horizontal total L.

Por que esta fórmula: O custo é a soma do custo de cada trecho: preço por metro vezes comprimento. O trecho submerso tem comprimento √(x² + 100²) e o terrestre L − x. Essa é a função que queremos minimizar.

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: custo do fio na água · √(x^2 + 100^2) = definição: hipotenusa do triângulo retângulo com catetos 100 m e x · $3$ = enunciado: custo do fio fora da água · $L$ = definição: distância horizontal total entre A e C (a descobrir) · $x$ = definição: distância horizontal entre A e B (variável)

Passo 2 — Derivar o custo em relação a x

Para achar o ponto de mínimo, usamos o cálculo: a derivada da função custo indica como o custo varia com x. No ponto onde o custo é mínimo, a derivada é zero — é onde o custo para de cair e começa a subir.

Por que esta fórmula: A derivada de uma soma é a soma das derivadas. A derivada de 5·√(x²+10000) é 5·(x/√(x²+10000)) pela regra da cadeia, e a derivada de 3·(L−x) é −3.

De onde vem cada valor: $5$ = passo 1: custo do fio na água · $x$ = passo 1: distância horizontal · $\sqrt{x^{2} + 10000}$ = passo 1: distância submersa · $3$ = passo 1: custo do fio terrestre

Passo 3 — Igualar a derivada a zero e isolar x

No ponto de mínimo, a derivada é zero. Igualamos C'(x) a zero e resolvemos a equação para encontrar o valor de x que minimiza o custo.

Por que esta fórmula: A equação 5·x/√(x²+10000) − 3 = 0 é uma equação algébrica. Isolamos a raiz, elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e resolvemos para x.

De onde vem cada valor: $5$ = passo 2: coeficiente da derivada · $x$ = passo 2: variável · $\sqrt{x^{2} + 10000}$ = passo 2: raiz · $3$ = passo 2: termo constante

Passo 4 — Elevar ao quadrado e resolver para x

A equação ainda tem uma raiz quadrada. Elevando ambos os lados ao quadrado, a raiz desaparece e ficamos com uma equação do segundo grau simples.

Por que esta fórmula: Elevar ao quadrado é a operação inversa da raiz quadrada. Depois, expandimos e isolamos x².

De onde vem cada valor: $25$ = constante: 5², do quadrado do lado esquerdo · $9$ = constante: 3², do quadrado do lado direito · $x^{2}$ = passo 3: x² do lado esquerdo · $10000$ = constante: 100², da raiz

Passo 5 — Isolar x e achar o valor positivo

Agora é só álgebra: subtrair 9x² dos dois lados, dividir por 16 e tirar a raiz quadrada. Como x é uma distância, usamos o valor positivo.

Por que esta fórmula: A equação 16x² = 90000 é linear em x². Dividimos por 16 e extraímos a raiz.

De onde vem cada valor: $90000$ = passo 4: 9·10000 · $16$ = passo 4: 25 − 9

Passo 6 — Calcular a distância submersa

Com x = 75 m, podemos calcular o comprimento do fio submerso, que é a hipotenusa do triângulo retângulo. Esse valor será usado no custo total.

Por que esta fórmula: Usamos Pitágoras novamente: d_agua = √(x² + 100²).

De onde vem cada valor: $x$ = passo 5: 75 m · $100$ = enunciado: largura do rio

Passo 7 — Descobrir a distância horizontal total L

O custo mínimo dado nas alternativas é R$ 3.400,00. Com a distância submersa conhecida, podemos montar a equação do custo e resolver para L, a distância horizontal total entre A e C.

Por que esta fórmula: O custo total é 5·d_agua + 3·(L − x). Igualamos a 3400 e resolvemos para L.

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: custo do fio na água · $125$ = passo 6: distância submersa · $3$ = enunciado: custo do fio terrestre · $L$ = definição: distância horizontal total (incógnita) · $75$ = passo 5: x

Passo 8 — Calcular o custo mínimo final

Com L = 1000 m, substituímos na função de custo para confirmar o valor mínimo. Esse é o gasto total da ligação.

Por que esta fórmula: A função de custo original com os valores de x e L.

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: custo do fio na água · $125$ = passo 6: distância submersa · $3$ = enunciado: custo do fio terrestre · $1000$ = passo 7: L · $75$ = passo 5: x

$C_{min}$ = R$ 3.400,00

Resposta: R$ 3.400,00 — alternativa C