Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2024

Geometria Analítica — Triângulos no Espaço

Gabarito: letra B. O triângulo é retângulo em B porque o produto escalar dos vetores $\vec{BA}$ e $\vec{BC}$ é igual a zero, o que caracteriza a ortogonalidade entre os lados $BA$ e $BC$.

Para resolver esta questão, identificamos as coordenadas dos vértices fornecidos:

• $A = (1, 3/2, 1/2)$

• $B = (1, 1/2, -1/2)$

• $C = (1, 1, -1)$

Calculamos os vetores que formam os lados a partir do vértice $B$:

• $\vec{BA} = A - B = (1-1, 3/2-1/2, 1/2-(-1/2)) = (0, 1, 1)$

• $\vec{BC} = C - B = (1-1, 1-1/2, -1-(-1/2)) = (0, 1/2, -1/2)$

O produto escalar $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ é dado por: $(0 \times 0) + (1 \times 1/2) + (1 \times -1/2) = 0 + 1/2 - 1/2 = 0$.

Como o produto escalar é nulo, os vetores são perpendiculares, confirmando que o ângulo no vértice $B$ é de $90^\circ$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O triângulo não é retângulo em $A$. Para ser retângulo em $A$, o produto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ deveria ser zero. Como $\vec{AB} = (0, -1, -1)$ e $\vec{AC} = (0, -1/2, -3/2)$, o produto escalar é $(0) + (1/2) + (3/2) = 2 \neq 0$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Conforme demonstrado, o produto escalar dos vetores que convergem no vértice $B$ é zero, provando que o ângulo em $B$ é reto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O triângulo não é retângulo em $C$. O produto escalar $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ seria $(0) + (1/2) + (3/2) = 2 \neq 0$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Como o triângulo possui um ângulo reto (em $B$), ele não pode ter todos os ângulos agudos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Um triângulo não pode ter mais de um ângulo obtuso (ou um ângulo reto e um obtuso), pois a soma dos ângulos internos é sempre $180^\circ$.