Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg079805

Matemática — Séries Telescópicas

Gabarito: letra A. A soma $S$ é uma série telescópica que converge para 1, o que equivale à fração $\frac{1}{1}$ , onde $a=1$ e $b=1$ . Como $a$ e $b$ são naturais e a fração é irredutível, temos $a+b = 1+1 = 2$ .

Para resolver, observe o termo geral da soma $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ . Utilizando a decomposição em frações parciais, temos:

\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}

Ao expandir a soma $S$ com essa identidade, os termos intermediários se cancelam:

S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)

S = 1 - \frac{1}{n+1}

Ao calcular o limite quando $n \to \infty$ , o termo $\frac{1}{n+1}$ tende a zero, resultando em:

\lim_{n \to \infty} S = 1 - 0 = 1 = \frac{1}{1}

Portanto, $a=1$ e $b=1$ . A soma $a+b$ resulta em $1+1 = 2$ .

1Decompor termo geral
2Identidade1/k(k+1) = 1/k − 1/(k+1)
3Expandir e cancelar
4S = 1 − 1/(n+1)
5Limite n→∞ → S = 1

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Corresponde ao valor calculado $a+b = 2$ , onde $a=1$ e $b=1$ formam a fração irredutível $\frac{1}{1}$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 3 não condiz com a soma dos termos da fração irredutível resultante do limite.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 4 não condiz com a soma dos termos da fração irredutível resultante do limite.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 5 não condiz com a soma dos termos da fração irredutível resultante do limite.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 7 não condiz com a soma dos termos da fração irredutível resultante do limite.