Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Valor esperado em amostragem sem reposição

Gabarito: letra C. O valor esperado de X (número de bolas azuis em 3 retiradas sem reposição de uma urna com 3 vermelhas e 4 azuis) é 1,7. Isso decorre da distribuição hipergeométrica, cuja esperança é $E[X] = n \cdot \frac{m}{N}$, com $n=3$, $m=4$ e $N=7$, resultando em $3 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7} \approx 1{,}71$.

A questão envolve uma variável aleatória discreta que conta o número de sucessos (bolas azuis) em uma amostragem sem reposição. Diferentemente da distribuição binomial (que exige independência entre as retiradas), aqui as probabilidades mudam a cada extração, pois a composição da urna se altera. Esse é exatamente o cenário da distribuição hipergeométrica, caracterizada por:

• População finita de tamanho $N = 7$ (total de bolas);

• $m = 4$ elementos com a característica de interesse (azuis);

• $n = 3$ extrações sem reposição.

A fórmula da esperança para a hipergeométrica é:

Substituindo:

O valor 1,7 é a aproximação correta. Note que a esperança não depende da ordem das retiradas nem do fato de ser sem reposição — ela coincide com a binomial de parâmetros $n=3$ e $p = \frac{4}{7}$. A diferença entre as duas distribuições aparece apenas na variância, que na hipergeométrica é corrigida pelo fator de população finita $\frac{N-n}{N-1}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 2,7 é muito alto. Ele corresponderia a uma esperança de $n \cdot p$ com $p \approx 0{,}9$, o que não reflete a proporção de azuis na urna (4 em 7, cerca de 57%). Provavelmente o candidato confundiu a proporção ou errou a conta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2,1 seria obtido se a proporção de azuis fosse $p = 0{,}7$ (por exemplo, se houvesse 7 azuis em 10 bolas). Não é o caso: com 4 azuis em 7, a proporção é $\frac{4}{7} \approx 0{,}57$, e $3 \times 0{,}57 \approx 1{,}71$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $E[X] = \frac{12}{7} \approx 1{,}71$, que arredondado para uma casa decimal é 1,7. A alternativa está correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1,3 é menor que o esperado. Ele surgiria se a proporção de azuis fosse $p \approx 0{,}43$ (por exemplo, 3 azuis em 7), mas a urna tem 4 azuis.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,9 é ainda menor, correspondendo a $p \approx 0{,}3$. Não há base nos dados do enunciado para essa proporção.

Gabarito: letra C.