Física · FGV · 2024 | Questão sqc-fg079821

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 0,04π cm²/s (alternativa C).

A ideia por trás

A dilatação térmica faz o raio de um disco crescer, e com isso a área também cresce. A área de um círculo é A = πr², e quando o raio varia com o tempo, a área varia também. A taxa de variação da área é a derivada da área em relação ao tempo, que se calcula pela regra da cadeia: dA/dt = 2πr · dr/dt. Isso significa que a velocidade da área depende do raio atual e da velocidade do raio: se o raio dobra, a velocidade da área dobra (para a mesma taxa de raio); se a taxa do raio dobra, a velocidade da área também dobra. Nesta questão, o raio cresce a uma taxa constante, e queremos a taxa da área no instante em que o raio é 2 cm — basta aplicar a fórmula com os valores dados.

O que a questão dá

raio = 2 cm
taxa de crescimento do raio = 0,01 cm/s

O que queremos: a velocidade com que a área cresce, em cm²/s

Passo 1 — Escrever a fórmula da área do círculo

A área do disco depende do raio: quanto maior o raio, maior a área. Para saber como a área varia com o tempo, precisamos primeiro da relação entre área e raio.

Por que esta fórmula: A área de um círculo é sempre π vezes o quadrado do raio — é a fórmula geométrica básica.

A = \pi r^{2}

De onde vem cada valor: $A$ = área do disco · $r$ = raio do disco, dado no enunciado

Passo 2 — Derivar a área em relação ao tempo

Queremos a velocidade com que a área cresce, ou seja, a taxa de variação da área no tempo. Derivando a fórmula da área, obtemos essa taxa em função do raio e da taxa do raio.

Por que esta fórmula: Como a área depende do raio, e o raio depende do tempo, usamos a regra da cadeia: derivamos πr² em relação a r (dá 2πr) e multiplicamos pela derivada de r em relação ao tempo (dr/dt).

\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}

De onde vem cada valor: $\frac{dA}{dt}$ = taxa de variação da área (o que queremos) · $r$ = raio no instante considerado, do enunciado · $\frac{dr}{dt}$ = taxa de crescimento do raio, do enunciado

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 2πr e usar apenas π·dr/dt, caindo na alternativa A.

Passo 3 — Substituir os valores do raio e da taxa

Agora que temos a fórmula da taxa da área, precisamos colocar os números do enunciado: o raio no instante pedido é 2 cm, e a taxa do raio é 0,01 cm/s.

Por que esta fórmula: A fórmula já está pronta; basta substituir r e dr/dt pelos valores dados.

\frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot 2 \cdot 0{,}01

De onde vem cada valor: $2\pi$ = da derivada de πr² · $2$ = raio = 2 cm, do enunciado · $0{,}01$ = taxa do raio = 0,01 cm/s, do enunciado

\frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot 2 \cdot 0{,}01 = \boxed{0{,}04\ \pi \text{cm}^{2}/\text{s}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar r = 1 ou esquecer de multiplicar pelo raio, obtendo 0,02π (alternativa B).

Resposta: 0,04π cm²/s (alternativa C)