Física · FGV · 2024 | Questão sqc-fg085549

Órbita elíptica e período orbital (Terceira Lei de Kepler)

Gabarito: letra D (aproximadamente 4,7 anos). O período orbital de um corpo em órbita elíptica é dado pela terceira lei de Kepler: $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3$ , onde $a$ é o semi-eixo maior da órbita. Primeiro calcula-se $a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{30\times10^{11} + 50\times10^{11}}{2} = 40\times10^{11}\,\text{m} = 4\times10^{12}\,\text{m}$ . Substituindo $GM = 1,024\times10^{23}\,\text{N·m}^2/\text{kg}$ e $\pi=3$ , obtém-se:

T^2 = \frac{4\pi^2}{1,024\times10^{23}} \times (4\times10^{12})^3 = \frac{4\cdot 9}{1,024\times10^{23}} \times 64\times10^{36} = \frac{36}{1,024\times10^{23}} \times 6,4\times10^{37} = \frac{230,4}{1,024} \times 10^{14} = 225 \times 10^{14} = 2,25\times10^{16}\,\text{s}^2

Assim, $T = \sqrt{2,25\times10^{16}} = 1,5\times10^{8}\,\text{s}$ . Convertendo para anos: $1\,\text{ano} = 8760\,\text{h} = 8760 \times 3600\,\text{s} = 31.536.000\,\text{s} \approx 3,1536\times10^{7}\,\text{s}$ . Então:

T_{\text{anos}} = \frac{1,5\times10^{8}}{3,1536\times10^{7}} \approx 4,756\,\text{anos} \approx 4,7\,\text{anos}.

Portanto, a alternativa correta é a letra D (4,7 anos).

Alternativa A — ❌ Incorreta (10,7 anos)

Resultado muito alto. Possível erro: usar diretamente a soma dos raios ou inverter a fórmula.

Alternativa B — ❌ Incorreta (8,7 anos)

Resultado alto. Provável esquecimento de elevar ao cubo corretamente o semi-eixo maior.

Alternativa C — ❌ Incorreta (6,7 anos)

Próximo, mas ainda acima. Pode ter usado $a = (r_p+r_a)/2$ errado? Na verdade o cálculo correto dá 4,7.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado.

Alternativa E — ❌ Incorreta (1,7 anos)

Resultado muito baixo. Possível erro: usar semi-eixo menor ou confundir período com frequência.

Gabarito: letra D.