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Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2024

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
fg085573
Banca
FGV
Órgão
INPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Tecnologista Júnior I - Engenharia de Sistemas de Satélites - Missões Espaciais
A modelagem matemática de diversos fenômenos físicos resulta em equações ou sistemas de equações diferenciais ordinárias, cujos métodos de solução são de grande interesse e aplicação para as áreas de engenharias.Considere que a modelagem das tensões em V em dois componentes de um circuito elétrico, denominadas VC(t) e VR(t), com respeito ao acionamento no instante inicial de uma fonte de tensão VEX(t) é dada pela seguinte equação:34-1.png 328×76Sabendo que a fonte de tensão VEX(t) produz uma tensão constante de 10 V ao ser acionada, o equacionamento acima representado pode ser descrito por um sistema de equações diferenciais de 1ª ordem dado por:Imagem associada para resolução da questãoNessas condições, as matrizes A e B são, respectivamente,
  1. AImagem associada para resolução da questão
  2. BImagem associada para resolução da questão
  3. CImagem associada para resolução da questão
  4. DImagem associada para resolução da questão
  5. EImagem associada para resolução da questão
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GabaritoB — [imagem]

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Álgebra Linear — Sistemas de Equações Diferenciais

Gabarito: letra B. Para converter o sistema de equações diferenciais de 2ª ordem em um sistema de 1ª ordem, definimos novas variáveis de estado e isolamos as derivadas de maior ordem. A partir das equações fornecidas:

  1. 2vC′′+4vC′+8vC−2vR=vEX  ⟹  vC′′=−2vC′−4vC+vR+0.5vEX2 v_C'' + 4 v_C' + 8 v_C - 2 v_R = v_{EX} \implies v_C'' = -2 v_C' - 4 v_C + v_R + 0.5 v_{EX}

  2. vR′+3vC′+7vR=0  ⟹  vR′=−3vC′−7vRv_R' + 3 v_C' + 7 v_R = 0 \implies v_R' = -3 v_C' - 7 v_R

Definindo vK=vC′v_K = v_C', temos o sistema:

  • vK′=vC′′=−4vC−2vK+vR+0.5vEXv_K' = v_C'' = -4 v_C - 2 v_K + v_R + 0.5 v_{EX}

  • vC′=vKv_C' = v_K

  • vR′=−3vK−7vRv_R' = -3 v_K - 7 v_R

Considerando vEX=10v_{EX} = 10, o termo constante é 0.5×10=50.5 \times 10 = 5. Organizando na forma matricial ddt[vK,vC,vR]T=A[vK,vC,vR]T+B\frac{d}{dt} [v_K, v_C, v_R]^T = A [v_K, v_C, v_R]^T + B, identificamos a matriz AA com os coeficientes das variáveis e BB com o termo independente. A alternativa B apresenta a estrutura correta dos coeficientes resultantes dessa manipulação algébrica.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os coeficientes da matriz AA não correspondem à derivação correta das equações diferenciais apresentadas no enunciado.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Esta alternativa reflete corretamente a montagem do sistema de 1ª ordem, onde a primeira linha representa vK′=−2vK−4vC+1vR+5v_K' = -2 v_K - 4 v_C + 1 v_R + 5, a segunda vC′=1vKv_C' = 1 v_K, e a terceira vR′=−3vK−7vRv_R' = -3 v_K - 7 v_R.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Os sinais e valores dos coeficientes estão incorretos em relação ao sistema original, especialmente na linha referente à derivada de vRv_R.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A matriz AA apresenta valores que não derivam das equações diferenciais dadas, falhando na representação do sistema de estados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os coeficientes da matriz AA e do vetor BB estão incorretos, não respeitando a relação de dependência entre as variáveis vC,vRv_C, v_R e suas derivadas.

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