Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Álgebra Linear — Matriz de Transição de Estados

Gabarito: letra B. A matriz de transição de estados $\Phi(t)$ para um sistema linear invariante no tempo, cuja matriz de estados $A$ é fatorada como $M L M^{-1}$, é dada por $\Phi(t) = e^{At} = M e^{Lt} M^{-1}$. Como $L$ é uma matriz diagonal, $e^{Lt} = \begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{bmatrix}$. Realizando o produto matricial $M e^{Lt} M^{-1}$, obtém-se a matriz da alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma matriz que não corresponde ao resultado do produto $M e^{Lt} M^{-1}$. O cálculo da exponencial de uma matriz diagonal $L$ envolve apenas a exponenciação dos elementos da diagonal principal, e a transformação de base através de $M$ e $M^{-1}$ resulta em termos cruzados que não coincidem com esta estrutura.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a matriz correta resultante da operação $\Phi(t) = M e^{Lt} M^{-1}$. Primeiramente, calcula-se a inversa de $M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$. O determinante é $1(2) - 0(-3) = 2$. A inversa é $M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1.5 & 0.5 \end{bmatrix}$. O produto $M e^{Lt} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ -3e^{-2t} & 2e^{-t} \end{bmatrix}$. Finalmente, multiplicando por $M^{-1}$: $\begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ -3e^{-2t} & 2e^{-t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1.5 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-2t} & 0 \\ -3e^{-2t} + 3e^{-t} & e^{-t} \end{bmatrix}$. Nota: A alternativa B reflete a forma expandida correta do sistema dinâmico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta matriz não representa a transição de estados correta. Os termos exponenciais estão incorretamente combinados, sugerindo uma falha na aplicação da fórmula de mudança de base ou no cálculo da exponencial da matriz diagonal.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma matriz que não satisfaz a condição de ser a exponencial da matriz $A$ original. Os sinais e os coeficientes dos termos exponenciais não coincidem com o resultado da multiplicação matricial necessária.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta matriz é incorreta pois os termos fora da diagonal principal e os expoentes não correspondem ao comportamento dinâmico definido pela matriz $L$ (autovalores $-2$ e $-1$).