Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Matriz de transição de estados em sistemas de controle

Gabarito: letra D. A matriz de transição de estados no domínio de Laplace é dada por $\Phi(s) = (sI - A)^{-1}$, onde $A$ é a matriz de estados, $I$ é a matriz identidade e $s$ é a variável de Laplace. Essa expressão decorre da solução da equação de estados $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$ aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas.

A questão aborda um conceito fundamental da teoria de sistemas de controle: a matriz de transição de estados. Ela descreve como o estado do sistema evolui ao longo do tempo, e no domínio de Laplace assume a forma $\Phi(s) = (sI - A)^{-1}$. Para entender isso, partimos da equação de estados no domínio do tempo:

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, considerando condições iniciais nulas ($x(0) = 0$), obtemos:

Reorganizando:

Isolando $X(s)$:

A matriz $\Phi(s) = (sI - A)^{-1}$ é a matriz de transição de estados no domínio de Laplace. Ela relaciona a entrada $U(s)$ com o estado $X(s)$ do sistema. A inversa de $sI - A$ é essencial porque a matriz $A$ representa a dinâmica interna do sistema, e a subtração $sI - A$ aparece naturalmente ao mover $AX(s)$ para o lado esquerdo da equação.

A pegadinha da banca está em confundir o sinal: muitos candidatos marcam $(sI + A)^{-1}$ (alternativa E) por engano, mas o correto é $(sI - A)^{-1}$, pois a equação característica do sistema é $\det(sI - A) = 0$, e não $\det(sI + A) = 0$. O sinal negativo vem da própria estrutura da equação de estados.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$sA + I$ não corresponde à matriz de transição de estados. Essa expressão não aparece na solução da equação de estados; ela mistura a matriz $A$ multiplicada por $s$ com a identidade, o que não tem fundamento teórico. A forma correta envolve a inversa de $sI - A$, não uma soma direta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$sI + A$ é uma tentativa de representar a matriz característica, mas com o sinal trocado. A equação correta é $sI - A$, pois ao aplicar Laplace em $\dot{x} = Ax$ obtemos $sX(s) - AX(s) = (sI - A)X(s)$. O sinal de mais não aparece nesse contexto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$sI - A$ é a matriz característica, mas não é a matriz de transição de estados. A matriz de transição é a inversa dessa matriz, ou seja, $(sI - A)^{-1}$. A alternativa C apresenta apenas o denominador da expressão, sem a inversão.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(sI - A)^{-1}$ é exatamente a matriz de transição de estados no domínio de Laplace. Ela surge da solução da equação de estados com condições iniciais nulas, como demonstrado acima. A inversa de $sI - A$ é fundamental para relacionar a entrada com o estado do sistema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$(sI + A)^{-1}$ é a pegadinha clássica: o sinal de mais no lugar do menos. A equação correta é $sI - A$, pois a dinâmica do sistema é descrita por $\dot{x} = Ax$, e ao passar para o domínio de Laplace obtemos $sX(s) - AX(s) = (sI - A)X(s)$. O sinal negativo é intrínseco à formulação.

Gabarito: letra D