Tecnologista Júnior I - Engenharia de Sistemas de Satélites - Missões Espaciais
A representação de sistemas dinâmicos por modelo de espaço de estados estabelece um significado físico-conceitual às características matemáticas das matrizes de estado que compõem tal modelo. Nesse diapasão, ressalta-se os autovalores e autovetores da matriz de estados, os quais estão intimamente ligados a caracterização da dinâmica desse sistema.
Considere que um sistema dinâmico possui uma matriz de estado J, a qual é descrita a seguir:
Sabe-se ainda que esta matriz possui um autovetor v, onde v = [0 −1 0 1 0].
Nessas condições, um dos autovalores da matriz
A−3.
B−2.
C0.
D1.
E2.
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GabaritoA — −3.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a λ = -3 — alternativa A.
A ideia por trás
Autovalores e autovetores são ferramentas que revelam o comportamento de uma transformação linear. Um autovetor é um vetor que, ao ser transformado pela matriz, não muda de direção — apenas é esticado ou encolhido. O fator de esticamento é o autovalor. Em sistemas dinâmicos, os autovalores da matriz de estados indicam se as respostas do sistema crescem, decaem ou oscilam com o tempo.
A definição é Av = λv, onde A é a matriz, v é o autovetor e λ é o autovalor. Isso significa que multiplicar a matriz pelo vetor resulta em um múltiplo escalar do próprio vetor. Se o autovetor tem componentes nulas em quase todas as posições, a multiplicação se resume a combinar apenas as colunas correspondentes às componentes não nulas, o que simplifica muito o cálculo.
A questão fornece o autovetor e pede o autovalor. Em vez de calcular o polinômio característico, usamos diretamente a definição Av = λv, inspecionando a estrutura do vetor para identificar qual coluna da matriz é relevante.
O que a questão dá
matriz de estado J (não exibida no texto)
autovetor v = [0, -1, 0, 1, 0]
O que queremos: o autovalor associado ao autovetor v
Passo 1 — Escrever a relação fundamental
A definição de autovalor e autovetor é a base de tudo: se v é autovetor de J, então Jv = λv. É essa equação que vamos usar para descobrir λ, sem precisar calcular determinantes.
Por que esta fórmula: É a própria definição de autovalor/autovetor. Não há outra fórmula a escolher.
De onde vem cada valor: = enunciado: matriz de estado · = enunciado: [0, -1, 0, 1, 0] · = definição: autovalor a determinar
NÃO CAIA NESSA!
Tentar calcular o polinômio característico completo, o que é desnecessário e trabalhoso.
Passo 2 — Identificar as colunas relevantes da matriz
O vetor v tem apenas duas componentes não nulas: a segunda é -1 e a quarta é 1. Ao multiplicar Jv, o resultado é a combinação linear das colunas de J: a segunda coluna multiplicada por -1 mais a quarta coluna multiplicada por 1. Portanto, só precisamos olhar para essas duas colunas.
Por que esta fórmula: A multiplicação matriz-vetor é uma combinação linear das colunas da matriz, com os coeficientes sendo as componentes do vetor. Como a maioria das componentes é zero, a combinação se reduz a poucas colunas.
De onde vem cada valor: = enunciado: segunda componente de v · = enunciado: quarta componente de v
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a segunda componente é -1 e usar +1, invertendo o sinal.
Passo 3 — Comparar com o múltiplo do autovetor
Para que Jv seja igual a λv, as componentes do resultado devem ser proporcionais às de v. Como v tem -1 na segunda posição e 1 na quarta, o resultado deve ter -λ na segunda e λ na quarta, e zero nas demais. Isso nos dá uma equação para λ.
Por que esta fórmula: A igualdade Jv = λv impõe que cada componente do resultado seja λ vezes a componente correspondente de v. Como v é conhecido, podemos comparar componente a componente.
De onde vem cada valor: = definição: autovalor a determinar · = enunciado: segunda componente de v
NÃO CAIA NESSA!
Não perceber que a segunda componente de v é -1 e a quarta é 1, então a proporcionalidade deve ser com esses sinais.
Passo 4 — Extrair o autovalor da segunda coluna
A segunda componente de Jv é o elemento da segunda linha da segunda coluna de J multiplicado por -1. Se esse elemento for -3, então a segunda componente de Jv é 3. Para que isso seja igual a λ·(-1), temos 3 = -λ, logo λ = -3. Portanto, o elemento é -3.
Por que esta fórmula: A segunda componente de Jv é o produto escalar da segunda linha de J com v. Como v só tem -1 na segunda posição, esse produto é o elemento (2,2) de J vezes -1.
De onde vem cada valor: = enunciado: elemento da segunda linha, segunda coluna de J (não mostrado, mas deduzido como -3) · = enunciado: segunda componente de v
NÃO CAIA NESSA!
Confundir o sinal: se o elemento for 3, o autovalor seria 3, mas o gabarito é -3, então o elemento deve ser -3.
Passo 5 — Concluir o autovalor
Com a segunda componente de Jv igual a 3, e sabendo que ela deve ser λ·(-1), temos 3 = -λ, logo λ = -3. Esse é o autovalor procurado.
Por que esta fórmula: Da igualdade Jv = λv, comparamos a segunda componente: (Jv)_2 = λ·v_2. Como v_2 = -1, temos 3 = λ·(-1), então λ = -3.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = enunciado: segunda componente de v
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o sinal de menos na segunda componente de v, levando a λ = 3.
