Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2024

Álgebra Linear — Autovalores de Matrizes em Blocos

Gabarito: letra A. Os autovalores de uma matriz em blocos diagonais são a união dos autovalores de cada bloco. A matriz $P$ é uma matriz em blocos da forma $P = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}$, onde $A = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.

Para o bloco $A$, calculamos o polinômio característico $\det(A - \lambda I) = 0$:

As raízes desta equação quadrática são $\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$, resultando em $\lambda_1 = 2$ e $\lambda_2 = -4$.

Para o bloco $B$, por ser uma matriz diagonal, os autovalores são os próprios elementos da diagonal principal: $\lambda_3 = 3$ e $\lambda_4 = -1$. Portanto, o conjunto de autovalores da matriz $P$ é $\{2, -4, 3, -1\}$. Entre as alternativas, o valor $-4$ é um autovalor válido.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor $-4$ é um dos autovalores encontrados a partir do bloco superior esquerdo da matriz.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $-3$ não pertence ao conjunto de autovalores da matriz $P$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $-2$ não é um autovalor de $P$. O erro comum é confundir o termo linear do polinômio característico com o autovalor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $0$ não é autovalor, pois o determinante da matriz $P$ é o produto dos determinantes dos blocos: $\det(P) = \det(A) \cdot \det(B) = (-8) \cdot (-3) = 24 \neq 0$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $1$ não é um autovalor de $P$.