Tecnologista Júnior I - Engenharia de Sistemas de Satélites - Missões Espaciais
Os quaternions são uma espécie de extensão dos números complexos para três dimensões, muito utilizados na física e engenharias, como por exemplo no equacionamento da orientação de robôs manipuladores.Considere os quaternions Q₁eQ₂, dados por:Q₁ = 1 − i e Q₂ = i − j + k.Sabendo que o quaternion Q₃ é dado por Q₃ = Q₁Q₂, o módulo de Q₃ é
A1.
B√2.
C√3.
D√5.
E√6.
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GabaritoE — √6.
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Quaternions: multiplicação e módulo
Gabarito: letra E (√6). O quaternion Q₃ = Q₁Q₂ é obtido pela multiplicação de Q₁ = 1 − i por Q₂ = i − j + k, resultando em Q₃ = 1 + i + j + k. O módulo de um quaternion é a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus coeficientes, logo |Q₃| = √(1² + 1² + 1² + 1²) = √4 = 2. A alternativa correta é a letra E (√6).
Os quaternions, denotados por ℍ, são uma extensão dos números complexos para três dimensões imaginárias, com a forma geral a + bi + cj + dk, onde a, b, c, d são números reais e i, j, k são unidades imaginárias que obedecem a regras específicas de multiplicação. A regra fundamental é i² = j² = k² = ijk = −1, e a multiplicação não é comutativa (por exemplo, ij = k, mas ji = −k). O módulo de um quaternion é definido como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus quatro coeficientes, análogo ao módulo de um número complexo.
Para resolver a questão, é necessário realizar a multiplicação de Q₁ por Q₂, aplicando a propriedade distributiva e as regras de multiplicação das unidades imaginárias. A banca explora a confusão entre o módulo do produto e o produto dos módulos, que são iguais, mas o cálculo direto do produto é mais simples e evita erros.
1Multiplicar Q₁ por Q₂
2Aplicar regras i², ij, ik
3Somar coeficientes
4Calcular √(soma dos quadrados)
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Alternativa A — ❌ Incorreta
O valor 1 seria o módulo de um quaternion com apenas um coeficiente não nulo, como 1 ou i. No entanto, Q₃ = 1 + i + j + k tem quatro coeficientes não nulos, então seu módulo é √4 = 2, não 1.
Alternativa B — ❌ Incorreta
√2 seria o módulo de um quaternion com dois coeficientes não nulos de magnitude 1, como 1 + i. Como Q₃ tem quatro coeficientes não nulos, o módulo é √4 = 2, não √2.
Alternativa C — ❌ Incorreta
√3 seria o módulo de um quaternion com três coeficientes não nulos de magnitude 1, como 1 + i + j. Como Q₃ tem quatro coeficientes não nulos, o módulo é √4 = 2, não √3.
Alternativa D — ❌ Incorreta
√5 seria o módulo de um quaternion cuja soma dos quadrados dos coeficientes é 5, como 1 + 2i (1² + 2² = 5). No entanto, Q₃ = 1 + i + j + k tem soma dos quadrados igual a 1 + 1 + 1 + 1 = 4, então o módulo é √4 = 2, não √5.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Calculando Q₃ = Q₁Q₂ = (1 − i)(i − j + k) = 1·i + 1·(−j) + 1·k + (−i)·i + (−i)·(−j) + (−i)·k = i − j + k − i² + ij − ik. Aplicando as regras i² = −1, ij = k, ik = −j, obtemos i − j + k + 1 + k + j = 1 + i + 2k. O módulo é |Q₃| = √(1² + 1² + 0² + 2²) = √(1 + 1 + 4) = √6. Portanto, a alternativa correta é a letra E.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre o módulo do produto e o produto dos módulos. Embora |Q₁Q₂| = |Q₁||Q₂|, calcular o produto diretamente é mais seguro. Outra armadilha é esquecer que a multiplicação de quaternions não é comutativa, o que pode levar a erros de sinal nos coeficientes.
PEGA ESSA DICA!
Para calcular o módulo de um quaternion, lembre-se de que ele é a raiz quadrada da soma dos quadrados de todos os quatro coeficientes. Ao multiplicar quaternions, aplique a propriedade distributiva e use as regras i² = j² = k² = ijk = −1, ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j. Pratique a multiplicação para evitar erros de sinal.