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Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

EstatísticaCálculo de Probabilidades
Código
fg085588
Banca
FGV
Órgão
INPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Tecnologista Júnior I - Engenharia de Sistemas de Satélites - Missões Espaciais
Suponha que o número de lançamentos de satélites em órbita segueuma distribuição de Poisson com uma média de 6 por dia.A probabilidade de que em um dia qualquer sejam lançados pelomenos 2 satélites é de
  1. A1-e⁻⁶
  2. B1-7⁻⁶
  3. C7e⁻⁶
  4. D6e⁻⁶
  5. Ee⁻⁶
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 1-7⁻⁶

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Distribuição de Poisson: probabilidade de pelo menos 2 eventos

Gabarito: letra B. A probabilidade de lançar pelo menos 2 satélites em um dia é o complemento da probabilidade de lançar 0 ou 1 satélite. Para uma Poisson com média λ=6\lambda = 6, temos P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)=1−e−6−6e−6=1−7e−6P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-6} - 6e^{-6} = 1 - 7e^{-6}, que corresponde exatamente à alternativa B.

A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo (tempo, área, volume), quando as ocorrências são independentes e a taxa média é constante. A função de probabilidade é:

P(X=k)=e−λλkk!P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

com λ\lambda sendo a média (e também a variância) do processo. No problema, λ=6\lambda = 6 lançamentos por dia.

A pegadinha clássica é o aluno calcular apenas P(X≥1)=1−e−6P(X \ge 1) = 1 - e^{-6} (alternativa A), esquecendo que o enunciado pede "pelo menos 2", o que exige excluir também o caso de exatamente 1 lançamento. Outra armadilha é confundir o termo 7e−67e^{-6} com a probabilidade de 0 ou 1 evento, quando na verdade ele representa exatamente a soma dessas duas probabilidades.

X=0X=1e⁻⁶6e⁻⁶0LEVELsoulevel.com.br
Distribuição de Poisson: lançamentos por dia — só X=0: e⁻⁶; só X=1: 6e⁻⁶; X=0∩X=1: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa corresponde a P(X≥1)=1−P(X=0)=1−e−6P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - e^{-6}. O erro está em considerar "pelo menos 1" em vez de "pelo menos 2". O candidato que esquece de subtrair também o caso de exatamente 1 lançamento cai nessa armadilha.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Calculamos:

  • P(X=0)=e−6⋅600!=e−6P(X=0) = \frac{e^{-6} \cdot 6^0}{0!} = e^{-6}

  • P(X=1)=e−6⋅611!=6e−6P(X=1) = \frac{e^{-6} \cdot 6^1}{1!} = 6e^{-6}

Portanto, P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)=1−e−6−6e−6=1−7e−6P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-6} - 6e^{-6} = 1 - 7e^{-6}.

Alternativa C — ❌ Incorreta

7e−67e^{-6} é exatamente a soma P(X=0)+P(X=1)P(X=0) + P(X=1), ou seja, a probabilidade de lançar no máximo 1 satélite. A alternativa apresenta esse valor como se fosse a resposta, mas a questão pede o complemento (pelo menos 2).

Alternativa D — ❌ Incorreta

6e−66e^{-6} é apenas P(X=1)P(X=1), a probabilidade de lançar exatamente 1 satélite. Não representa a probabilidade pedida, que envolve todos os casos de 2 ou mais lançamentos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

e−6e^{-6} é P(X=0)P(X=0), a probabilidade de nenhum lançamento no dia. É apenas uma das parcelas que devem ser subtraídas de 1, não a resposta final.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre "pelo menos 1" e "pelo menos 2". Muitos candidatos marcam a alternativa A (1−e−61-e^{-6}) por associarem automaticamente o complemento de P(X=0)P(X=0) à expressão "pelo menos". Lembre-se: "pelo menos 2" = 1−P(X=0)−P(X=1)1 - P(X=0) - P(X=1). Com treino, você identifica essa diferença rapidamente 💪

PEGA ESSA DICA!

Para questões de Poisson, sempre escreva explicitamente os casos que compõem o evento pedido. Se pedir "pelo menos k", calcule 1−∑i=0k−1P(X=i)1 - \sum_{i=0}^{k-1} P(X=i). Isso evita erros de interpretação e agiliza a resolução.

Gabarito: letra B

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