Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg085591

Teorema de Bayes: probabilidade a posteriori

Gabarito: letra C. A probabilidade de o pesquisador estar na cidade A, dado que choveu, é calculada pelo Teorema de Bayes: $P(A|Chuva) = \frac{P(A) \cdot P(Chuva|A)}{P(Chuva)}$ , onde $P(Chuva) = P(A)P(C|A) + P(B)P(C|B) + P(C)P(C|C)$ . Substituindo os valores, obtemos aproximadamente 0,24.

O Teorema de Bayes é a ferramenta central para atualizar probabilidades quando recebemos uma informação nova (no caso, a ocorrência de chuva). Ele inverte a condicional: queremos $P(\text{cidade}|\text{chuva})$ , mas conhecemos $P(\text{chuva}|\text{cidade})$ e as probabilidades a priori de cada cidade. A fórmula completa é:

P(A|Chuva) = \frac{P(A) \cdot P(Chuva|A)}{P(A) \cdot P(Chuva|A) + P(B) \cdot P(Chuva|B) + P(C) \cdot P(Chuva|C)}

O denominador é a probabilidade total de chover, ponderada pelas probabilidades de o pesquisador estar em cada cidade. Esse é o ponto que a banca explora: muitos candidatos calculam apenas o numerador e esquecem de dividir pela probabilidade total, ou invertem as probabilidades condicionais.

Vamos aos cálculos:

$P(A) = 0,5$ , $P(Chuva|A) = 0,01$ → contribuição: $0,5 \times 0,01 = 0,005$
$P(B) = 0,3$ , $P(Chuva|B) = 0,02$ → contribuição: $0,3 \times 0,02 = 0,006$
$P(C) = 0,2$ , $P(Chuva|C) = 0,05$ → contribuição: $0,2 \times 0,05 = 0,010$

Somando: $P(Chuva) = 0,005 + 0,006 + 0,010 = 0,021$ .

Agora aplicamos Bayes:

P(A|Chuva) = \frac{0,005}{0,021} \approx 0,2381 \approx 0,24

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

1Probabilidades a priori
2Probabilidades condicionais
3Produto (numerador)
4Soma (denominador)
5Divisão → a posteriori

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,16 não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Ele é menor que o resultado correto e provavelmente resulta de um erro na soma das contribuições ou na divisão. Não há justificativa teórica para esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,20 é próximo, mas incorreto. Pode surgir se o aluno arredondar $P(Chuva)$ para 0,025 (em vez de 0,021) ou se cometer um pequeno erro na divisão. O cálculo exato dá aproximadamente 0,238, que arredonda para 0,24, não 0,20.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(A|Chuva) = \frac{0,005}{0,021} \approx 0,2381$ , que arredondado para duas casas decimais é 0,24. Este é o valor que a banca espera, e corresponde exatamente à aplicação correta do Teorema de Bayes.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,30 é maior que o correto. Ele poderia resultar de um erro como usar $P(Chuva|A) = 0,01$ no numerador e dividir por um denominador menor (por exemplo, esquecer a contribuição da cidade C, obtendo $0,005/0,011 \approx 0,45$ , ou outro erro de cálculo). Não há base para esse valor.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,34 é ainda maior e também incorreto. Provavelmente surge de uma inversão das probabilidades (usar $P(A|Chuva)$ como se fosse $P(Chuva|A)$ ) ou de um erro grosseiro na soma. O cálculo correto não chega a esse número.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre $P(\text{cidade}|\text{chuva})$ e $P(\text{chuva}|\text{cidade})$ . O enunciado dá as probabilidades de chover em cada cidade (condicionais na cidade), mas pede a probabilidade de estar na cidade dado que choveu (condicional inversa). Quem não aplica Bayes e simplesmente usa $0,5 \times 0,01 = 0,005$ ou escolhe a maior probabilidade de chuva (0,05) erra feio. Lembre-se: sempre que a pergunta inverte a condicional, o caminho é o Teorema de Bayes.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de Bayes, monte uma tabela com as colunas: cidade, probabilidade a priori, probabilidade condicional da evidência, e produto. Some os produtos para obter a probabilidade total da evidência e, então, divida o produto da cidade desejada por essa soma. Esse método evita erros de cálculo e de interpretação.

Gabarito: letra C