Questão de Física — Energia Mecânica e sua Conservação — FGV 2024

Dinâmica de rotação e conservação da energia

Gabarito: letra D. O módulo da aceleração centrípeta de uma partícula em rotação é dado por $a_c = \omega^2 r$, onde $\omega$ é a velocidade angular do sistema e $r$ é a distância da partícula ao eixo. Pela conservação da energia mecânica, a variação da energia potencial gravitacional do sistema ao girar de um ângulo $\theta$ é convertida em energia cinética de rotação, permitindo determinar $\omega^2$ em função de $\text{sen}(\theta)$.

Para resolver, primeiro calculamos o momento de inércia total ($I$) do sistema em relação ao eixo na extremidade da haste. A haste tem massa $2m$ e comprimento $L$, e o anel tem massa $m$ e raio $R = L/4$. Utilizando o teorema dos eixos paralelos:

• Momento de inércia da haste: $I_h = \frac{1}{3}(2m)L^2 = \frac{2}{3}mL^2$.

• Momento de inércia do anel: $I_a = mR^2 + m(L+R)^2 = m(L/4)^2 + m(L + L/4)^2 = m(L^2/16) + m(25L^2/16) = \frac{26}{16}mL^2 = \frac{13}{8}mL^2$.

• Momento total: $I = \frac{2}{3}mL^2 + \frac{13}{8}mL^2 = \frac{16+39}{24}mL^2 = \frac{55}{24}mL^2$.

A energia potencial perdida pelo sistema ao girar de $\theta$ é $\Delta U = (2m)g(L/2 \cdot \text{sen}\theta) + m g ((L+R) \cdot \text{sen}\theta) = mgL \cdot \text{sen}\theta + mg(5L/4) \cdot \text{sen}\theta = \frac{9}{4}mgL \cdot \text{sen}\theta$. Igualando a $\frac{1}{2}I\omega^2$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{55}{24}mL^2 \cdot \omega^2 = \frac{9}{4}mgL \cdot \text{sen}\theta \implies \omega^2 = \frac{9}{4} \cdot \frac{48}{55} \cdot \frac{g}{L} \cdot \text{sen}\theta = \frac{108}{55} \frac{g}{L} \cdot \text{sen}\theta$.

O centro de massa da haste está a $r = L/2$ do eixo. Assim, $a_c = \omega^2 (L/2) = (\frac{108}{55} \frac{g}{L} \cdot \text{sen}\theta) \cdot (L/2) = \frac{54}{55}g \cdot \text{sen}\theta$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor calculado ignora a distribuição correta das massas e o momento de inércia do sistema, resultando em um coeficiente incorreto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Este valor deriva de uma aplicação errônea da conservação de energia ou do cálculo do momento de inércia total.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Este valor representa o quadrado da velocidade angular ($\omega^2$) multiplicado por $L$, mas não considera a distância do centro de massa da haste ao eixo ($L/2$).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Corresponde exatamente ao resultado da aplicação da conservação da energia mecânica e da definição de aceleração centrípeta para o centro de massa da haste.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Este valor resulta de uma falha no cálculo do momento de inércia do anel ou na consideração da massa total do sistema.

Gabarito: letra D.