Questão de Física — Gravitação Universal — FGV 2024

Gravitação Universal: velocidade em órbita elíptica

Gabarito: letra B — a velocidade máxima do satélite é $4\sqrt{5} \times 10^3 \, \text{m/s}$. A velocidade é máxima no periastro (ponto mais próximo do planeta), onde a energia potencial gravitacional é mínima e, por conservação da energia mecânica, a energia cinética é máxima. Aplicando a conservação da energia mecânica entre o periastro e o apoastro, obtemos $v_p = \sqrt{\frac{2GM r_a}{r_p(r_a + r_p)}}$, que com os dados fornecidos resulta em $4\sqrt{5} \times 10^3 \, \text{m/s}$.

A questão envolve o movimento de um satélite em órbita elíptica sob a ação da força gravitacional. Para resolvê-la, precisamos entender dois conceitos fundamentais: a conservação da energia mecânica e a conservação do momento angular.

Energia mecânica em órbita: Em uma órbita elíptica, a energia mecânica total do satélite (soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional) é constante. A energia potencial gravitacional é dada por $U = -\frac{GMm}{r}$, onde $r$ é a distância do satélite ao centro do planeta. No periastro (ponto mais próximo, $r = r_p$), a energia potencial é mínima (mais negativa), portanto a energia cinética é máxima, e a velocidade é máxima. No apoastro (ponto mais afastado, $r = r_a$), a energia potencial é máxima (menos negativa), a energia cinética é mínima, e a velocidade é mínima.

Momento angular: A força gravitacional é uma força central, ou seja, aponta sempre para o centro do planeta. Isso implica que o momento angular do satélite em relação ao centro do planeta é conservado. No periastro e no apoastro, a velocidade é perpendicular ao vetor posição (a velocidade é tangente à trajetória e o raio vetor aponta para o centro), então o módulo do momento angular é $L = m v r$. A conservação do momento angular nos dá $v_p r_p = v_a r_a$.

Resolução passo a passo:

1. Conservação da energia mecânica:

   $\frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{GMm}{r_p} = \frac{1}{2} m v_a^2 - \frac{GMm}{r_a}$

1. Conservação do momento angular:

   $v_p r_p = v_a r_a \Rightarrow v_a = v_p \frac{r_p}{r_a}$

1. Substituindo $v_a$ na equação da energia:

   $\frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{GMm}{r_p} = \frac{1}{2} m \left(v_p \frac{r_p}{r_a}\right)^2 - \frac{GMm}{r_a}$

1. Simplificando (dividindo por $m$ e multiplicando por 2):

   $v_p^2 - \frac{2GM}{r_p} = v_p^2 \frac{r_p^2}{r_a^2} - \frac{2GM}{r_a}$

1. Isolando $v_p^2$:

   $v_p^2 \left(1 - \frac{r_p^2}{r_a^2}\right) = 2GM \left(\frac{1}{r_p} - \frac{1}{r_a}\right)$

   $v_p^2 \left(\frac{r_a^2 - r_p^2}{r_a^2}\right) = 2GM \left(\frac{r_a - r_p}{r_p r_a}\right)$

   $v_p^2 \left(\frac{(r_a - r_p)(r_a + r_p)}{r_a^2}\right) = 2GM \left(\frac{r_a - r_p}{r_p r_a}\right)$

1. Cancelando $(r_a - r_p)$:

   $v_p^2 \left(\frac{r_a + r_p}{r_a^2}\right) = \frac{2GM}{r_p r_a}$

   $v_p^2 = \frac{2GM r_a}{r_p (r_a + r_p)}$

   $v_p = \sqrt{\frac{2GM r_a}{r_p (r_a + r_p)}}$

1. Substituindo os valores:

   • $r_p = 20 \times 10^{11} \, \text{m}$

   • $r_a = 40 \times 10^{11} \, \text{m}$

   • $GM = 1,2 \times 10^{20} \, \text{Nm}^2/\text{kg}$

Portanto, a velocidade máxima do satélite é $4\sqrt{5} \times 10^3 \, \text{m/s}$, que corresponde à letra B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $5\sqrt{5} \times 10^3 \, \text{m/s}$ seria obtido se, por engano, o aluno utilizasse apenas a distância do periastro na fórmula da velocidade orbital circular $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$, sem considerar a conservação da energia e o momento angular. Com $r = r_p = 20 \times 10^{11}$, teríamos $v = \sqrt{\frac{1,2 \times 10^{20}}{20 \times 10^{11}}} = \sqrt{6 \times 10^{7}} \approx 7,75 \times 10^3$, que não corresponde a nenhuma alternativa. O erro aqui é aplicar a fórmula de órbita circular a uma órbita elíptica, ignorando a variação da velocidade.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, a velocidade máxima ocorre no periastro e é dada por $v_p = \sqrt{\frac{2GM r_a}{r_p (r_a + r_p)}}$. Substituindo os valores fornecidos, obtemos exatamente $4\sqrt{5} \times 10^3 \, \text{m/s}$. Esta é a resposta correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $3\sqrt{5} \times 10^3 \, \text{m/s}$ resultaria de um erro de cálculo na simplificação da expressão, como por exemplo, utilizar $r_a - r_p$ em vez de $r_a + r_p$ no denominador, ou errar na manipulação algébrica dos expoentes de 10. Se o aluno cometesse um erro de sinal ou de fatoração, poderia chegar a esse valor, mas a aplicação correta da conservação da energia e do momento angular leva a $4\sqrt{5} \times 10^3$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $2\sqrt{5} \times 10^3 \, \text{m/s}$ seria obtido se o aluno utilizasse apenas a distância do apoastro na fórmula da velocidade orbital circular $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$, com $r = r_a = 40 \times 10^{11}$. Isso daria $v = \sqrt{\frac{1,2 \times 10^{20}}{40 \times 10^{11}}} = \sqrt{3 \times 10^{7}} \approx 5,48 \times 10^3$, que não corresponde a nenhuma alternativa. O erro é novamente aplicar a fórmula de órbita circular, mas agora usando o ponto mais distante, onde a velocidade é mínima, não máxima.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{5} \times 10^3 \, \text{m/s}$ é significativamente menor que o correto e indicaria um erro grave na aplicação das leis de conservação, como por exemplo, esquecer de considerar a energia potencial gravitacional ou o momento angular. Esse valor não tem relação direta com os dados do problema e provavelmente resultaria de uma tentativa de simplificação excessiva ou de um erro de cálculo numérico.

Gabarito: letra B