Tecnologista Júnior I - Gestão de Sistema RF de Estação Terrena (TG01)
O teorema da capacidade de Hartley-Shannon estima a capacidade teórica máxima de transmissão na presença de ruído gaussiano aditivo branco. A capacidade de um canal, em bps, é dada por C = W log2 onde W é a largura de banda do canal, S é a potência média do sinal e N é a potência média de ruído.
Deseja-se definir a relação energia de bit por densidade de ruído (Eb/No) para transmitir a uma taxa de dados de 2Mbps utilizando uma largura de banda igual a 2MHz. A Eb/No mínima necessária para este cenário é igual a
A-1dB.
B1dB.
C0dB.
D10dB.
E20dB.
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GabaritoC — 0dB.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 0 dB — alternativa C.
A ideia por trás
O teorema de Hartley-Shannon define o limite teórico de quantos bits por segundo um canal consegue transmitir sem erro, dado o ruído presente. A capacidade C é medida em bps e depende da largura de banda W (em Hz) e da relação sinal-ruído S/N. A energia por bit Eb é a energia gasta para enviar um bit, e N0 é a densidade de ruído; a relação Eb/N0 é adimensional e costuma ser expressa em dB.
A capacidade é C = W log₂(1 + S/N). Para relacionar com Eb/N0, usa-se S/N = (Eb/N0) × (R/W), onde R é a taxa de transmissão. Quando se opera no limite da capacidade (R = C), chega-se a Eb/N0 = (2^η − 1)/η, com η = R/W sendo a eficiência espectral em bits/s/Hz. Essa fórmula mostra que, para η = 1, Eb/N0 mínimo é 1 (0 dB); para η maior, o valor cresce exponencialmente.
A questão pede exatamente o caso em que a taxa R é igual à largura de banda W, ou seja, η = 1. Basta calcular η e aplicar a fórmula para obter Eb/N0 em escala linear e depois converter para dB.
O que a questão dá
taxa de dados R = 2 Mbps
largura de banda W = 2 MHz
O que queremos: a relação Eb/N0 mínima necessária, em dB
Passo 1 — Calcular a eficiência espectral
A eficiência espectral η = R/W é o número de bits transmitidos por segundo em cada hertz de banda. Ela é o ponto de partida porque a fórmula de Eb/N0 depende diretamente dela.
Por que esta fórmula: η = R/W é a definição de eficiência espectral: quantos bits por segundo cabem em cada hertz de largura de banda.
De onde vem cada valor: = enunciado: 2 Mbps = 2 × 10⁶ bps (constante: 10⁶ é o fator de mega) · = enunciado: 2 MHz = 2 × 10⁶ Hz (constante: 10⁶ é o fator de mega)
eta = frac2 × 10^62 × 10^6 = 1\ bit/s/Hz
NÃO CAIA NESSA!
Confundir Mbps com MBps (megabytes por segundo) — aqui é megabits, então 2 Mbps = 2 × 10⁶ bps, não 2 × 10⁶ × 8.
Passo 2 — Aplicar a fórmula de Eb/N0
Com η conhecido, a fórmula derivada do teorema de Shannon dá diretamente o valor mínimo de Eb/N0 em escala linear. É o passo que separa as alternativas.
Por que esta fórmula: A fórmula Eb/N0 = (2^η − 1)/η vem de substituir S/N = (Eb/N0) × η na equação de capacidade e isolar Eb/N0. Ela é válida quando a transmissão atinge a capacidade máxima.
De onde vem cada valor: = passo 1: 1
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair 1 no numerador, obtendo 2 em vez de 1.
Passo 3 — Converter para decibéis
As alternativas estão em dB, então o valor linear 1 precisa ser convertido. A conversão logarítmica é o último passo para comparar com as opções.
Por que esta fórmula: A relação em dB é definida como 10 log₁₀ do valor linear, porque a potência é proporcional à energia por bit.
De onde vem cada valor: = passo 2: 1
NÃO CAIA NESSA!
Usar 20 log₁₀ em vez de 10 log₁₀ — isso é para amplitudes, não para potências.
onde W é a largura de banda do canal, S é a potência média do sinal e N é a potência média de ruído.