Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg085905

Teste de hipóteses para comparação de variâncias

Gabarito: letra D. Para investigar se duas marcas de balanças eletrônicas fazem a medição do peso com a mesma homogeneidade, o teste apropriado é o de comparação de variâncias de duas populações normais independentes, cuja estatística segue a distribuição F de Snedecor. A estatística é a razão entre as variâncias amostrais, $F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$ , que, sob a hipótese nula de igualdade das variâncias populacionais, segue uma distribuição F com $n_1 - 1$ graus de liberdade no numerador e $n_2 - 1$ no denominador.

O problema pede para comparar a homogeneidade das medições, ou seja, a variabilidade (dispersão) dos pesos medidos por cada balança. Quando queremos comparar a variância de duas populações normais e independentes, o teste clássico é o teste F, também conhecido como teste de razão de variâncias. A hipótese nula é $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ e a estatística de teste é o quociente entre as variâncias amostrais. Essa estatística segue a distribuição F de Snedecor, que é uma distribuição contínua assimétrica à direita, definida para valores não negativos, e que depende de dois parâmetros: os graus de liberdade do numerador e do denominador.

A distribuição F é construída a partir da razão de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado, cada uma dividida pelos seus respectivos graus de liberdade. No contexto do teste de igualdade de variâncias, cada variância amostral, quando a população é normal, segue uma distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade (após a divisão pela variância populacional). Portanto, a razão das variâncias amostrais segue uma distribuição F.

A pegadinha da questão está em associar o teste de homogeneidade de variâncias a outros testes, como o teste t (para médias) ou o teste qui-quadrado (para aderência ou independência). O teste t de Student é usado para comparar médias de duas populações, e o teste qui-quadrado é usado para testar a aderência de dados a uma distribuição teórica ou a independência entre variáveis categóricas. Nenhum deles é apropriado para comparar variâncias de duas populações normais independentes.

Médias

Variâncias

Aderência/independência

t de Student (σ desconhecido) ou Z (σ conhecido)

F de Snedecor (razão de variâncias)

Comparar 2 populações

Qui-quadrado (dados categóricos)

Qui-quadrado (uma população)

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Critério	Teste t de Student (B)	Qui-quadrado (C)	F de Snedecor (D – Gabarito)
Objetivo do teste	Comparar médias de duas populações normais independentes	Testar aderência a uma distribuição, independência entre variáveis categóricas, ou variância de uma única população	Comparar variâncias (homogeneidade) de duas populações normais independentes
Hipótese nula típica	(H_0: \mu_1 = \mu_2)	(H_0): dados seguem distribuição teórica / variáveis são independentes	(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2)
Estatística de teste	$(t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}})$	$(\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i})$	$(F = \frac{s_1^2}{s_2^2})$
Graus de liberdade	(n_1 + n_2 - 2)	(k - 1) (aderência) ou ((r-1)(c-1)) (independência)	(n_1 - 1) (numerador) e (n_2 - 1) (denominador)
Aplicação no contexto da questão	❌ Não compara homogeneidade (variabilidade)	❌ Não compara variâncias de duas populações	✅ Exatamente o que o problema pede: comparar homogeneidade das medições

Alternativa A — ❌ Incorreta

A distribuição normal é usada como estatística de teste para comparar médias quando a variância populacional é conhecida (teste Z) ou para construir intervalos de confiança. Não é a distribuição apropriada para testar a igualdade de variâncias de duas populações.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A distribuição t de Student é utilizada para testar hipóteses sobre médias de populações normais quando a variância populacional é desconhecida, ou para comparar as médias de duas populações independentes (teste t de Student para duas amostras). Não é usada para comparar variâncias.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distribuição qui-quadrado é usada em testes de aderência (bondade de ajuste), testes de independência em tabelas de contingência e para testar a variância de uma única população normal. Para comparar as variâncias de duas populações, a estatística de teste não segue uma distribuição qui-quadrado, mas sim uma distribuição F.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A estatística do teste para comparar as variâncias de duas populações normais independentes é a razão entre as variâncias amostrais, que segue a distribuição F de Snedecor com $n_1 - 1$ e $n_2 - 1$ graus de liberdade. Esta é a distribuição correta para o teste de homogeneidade de variâncias.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A distribuição exponencial é uma distribuição de probabilidade contínua usada para modelar o tempo até a ocorrência de um evento, como o tempo de vida de componentes. Não é uma distribuição amostral usada em testes de hipóteses para comparação de variâncias.

PEGA ESSA DICA!

Para identificar o teste correto, pergunte-se: o que está sendo comparado? Se forem médias, use t de Student (variância desconhecida) ou Z (variância conhecida). Se forem variâncias (homogeneidade), use F de Snedecor. Se for aderência ou independência de dados categóricos, use qui-quadrado. Memorize essa associação: médias → t/Z, variâncias → F, aderência/independência → qui-quadrado.

Gabarito: letra D.