GabaritoC — 16.
Gabarito: letra C — a conta chega a 16 (alternativa C).
A elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, chamados focos, é constante. Essa constante é exatamente o comprimento do eixo maior, 2a. A distância entre os focos é 2c, chamada distância focal. O triângulo formado por um ponto da elipse e os dois focos tem, portanto, dois lados que somam 2a e o terceiro lado mede 2c, então seu perímetro é sempre 2a + 2c, independentemente de onde o ponto C esteja na elipse. Para achar a e c, precisamos colocar a equação na forma padrão e usar a relação a² = b² + c². Nesta questão, a equação já está quase na forma padrão, então basta dividir por 400 e identificar os semieixos.
equação da elipse: 25x² + 16y² = 400
A e B são os focos
C é um ponto genérico da elipse, exceto os vértices
O que queremos: o perímetro do triângulo ABC
A equação dada está com os coeficientes multiplicando x² e y². Para identificar os semieixos a e b, precisamos que o lado direito seja 1, que é a forma padrão da elipse. Dividir toda a equação por 400 faz isso.
Por que esta fórmula: A forma padrão da elipse com centro na origem é x²/a² + y²/b² = 1 (ou invertido, dependendo da orientação). Dividindo por 400, obtemos exatamente essa forma.
De onde vem cada valor: = enunciado: 25x² · = enunciado: 16y² · = enunciado: 400
Esquecer de dividir o lado direito também, ficando com 400 do lado direito.
Na forma padrão, os denominadores são os quadrados dos semieixos. Como o denominador de y² é 25 e o de x² é 16, o eixo maior é vertical, então a = 5 e b = 4.
Por que esta fórmula: Na forma padrão, o denominador de x² é a² e o de y² é b² (ou vice-versa, dependendo da orientação). O maior denominador corresponde ao semieixo maior.
De onde vem cada valor: = passo 1: denominador de y² · = passo 1: denominador de x²
a = 5, b = 4
Confundir a e b, achando que o eixo maior é horizontal porque x vem primeiro.
Para achar o perímetro, precisamos de c, a distância do centro a cada foco. A relação fundamental da elipse liga a, b e c.
Por que esta fórmula: Na elipse, vale a² = b² + c², pois a distância focal é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelos semieixos.
De onde vem cada valor: = passo 2: 25 · = passo 2: 16
Usar c² = a² + b², que é a relação da hipérbole, não da elipse.
O perímetro é a soma dos três lados: AC + BC + AB. Pela propriedade da elipse, AC + BC = 2a, e AB = 2c. Então somamos 2a e 2c.
Por que esta fórmula: A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos é constante e igual a 2a. A distância entre os focos é 2c. Portanto, o perímetro é 2a + 2c.
De onde vem cada valor: = passo 2: 5 · = passo 3: 3
Usar 2b em vez de 2c, resultando em 18 (alternativa E).
Resposta: 16 (alternativa C)
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