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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg085978
Banca
FGV
Órgão
INPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Tecnologista Júnior I - Projetos Mecânicos e Processos de Fabricação Mecânica
Um avião voa seguindo uma trajetória hiperbólica em função dos eixos cartesianos X’Y’, cuja equação é 2(y’)² – (x’)² = 8. No entanto a horizontal do terreno é orientando com eixo X e a sua vertical ao eixo Y, os planos dos eixos X’Y’ e XY são coincidentes.Sabendo-se que o ângulo do eixo X para o eixo X’ é de 45o no sentido anti-horário, então a altura do avião, quando ele encontrar o eixo Y, será de
  1. A10.
  2. B8.
  3. C6.
  4. D4.
  5. E2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 4.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 4 (alternativa D).

A ideia por trás

A rotação de eixos é uma transformação que relaciona as coordenadas de um ponto em dois sistemas cartesianos com a mesma origem, mas com eixos girados. Quando giramos os eixos de um ângulo θ, as coordenadas de um ponto no sistema girado (x', y') se relacionam com as do sistema original (x, y) por x' = x cosθ + y sinθ e y' = -x sinθ + y cosθ. Essa transformação preserva distâncias e ângulos, apenas muda a referência. Nesta questão, a hipérbole está descrita no sistema girado, e precisamos reescrevê-la no sistema original para achar onde ela corta o eixo Y (x=0).

O que a questão dá

  • equação da trajetória no sistema X'Y': 2(y')² - (x')² = 8

  • ângulo entre X e X': 45° no sentido anti-horário

O que queremos: a altura do avião quando ele encontra o eixo Y, ou seja, o valor de y quando x = 0 na equação da hipérbole no sistema XY

Passo 1 — Escrever as fórmulas de rotação

Para relacionar as coordenadas nos dois sistemas, precisamos das fórmulas que transformam (x, y) em (x', y'). Como o ângulo é 45°, usamos os valores de seno e cosseno.

Por que esta fórmula: A rotação de eixos é a ferramenta que liga os dois sistemas; sem ela não conseguimos passar a equação para o sistema XY.

x′=xcos⁡θ+ysin⁡θ,y′=−xsin⁡θ+ycos⁡θx' = x\cos\theta + y\sin\theta, \quad y' = -x\sin\theta + y\cos\theta

De onde vem cada valor: θ\theta = enunciado: 45° · x,yx, y = coordenadas no sistema XY (genéricas)

x′=x⋅22+y⋅22,y′=−x⋅22+y⋅22x' = x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + y\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y' = -x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + y\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o ângulo em radianos ou trocar o sinal da fórmula de y'.

Passo 2 — Substituir as expressões na equação

Agora que temos x' e y' em função de x e y, substituímos na equação da hipérbole para obter a equação no sistema XY.

Por que esta fórmula: A equação original está em X'Y'; substituindo as relações de rotação, ela passa a valer no sistema XY.

2(22(−x+y))2−(22(x+y))2=82\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x+y)\right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)\right)^{2} = 8

De onde vem cada valor: y′y' = passo 1: y' = 22\frac{\sqrt{2}}{2}(-x+y) · x′x' = passo 1: x' = 22\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)

2⋅12(−x+y)2−12(x+y)2=82\cdot\frac{1}{2}(-x+y)^{2} - \frac{1}{2}(x+y)^{2} = 8
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado o fator 22\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3 — Simplificar a equação

Precisamos simplificar a expressão para chegar a uma forma mais limpa, que permita isolar y depois.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 2 e expandir os quadrados elimina frações e revela os termos cruzados.

2(−x+y)2−(x+y)2=162(-x+y)^{2} - (x+y)^{2} = 16

De onde vem cada valor: 2(−x+y)22(-x+y)^{2} = passo 2: 2⋅\cdot12\frac{1}{2}(-x+y)^2 = (-x+y)^2, depois multiplicado por 2 · (x+y)2(x+y)^{2} = passo 2: 12\frac{1}{2}(x+y)^2, multiplicado por 2

2(x2−2xy+y2)−(x2+2xy+y2)=162(x^{2} - 2xy + y^{2}) - (x^{2} + 2xy + y^{2}) = 16
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao expandir (x+y)^2 ou esquecer de multiplicar o termo 2 por todos os termos.

Passo 4 — Expandir e combinar termos

Expandir os quadrados e combinar os termos semelhantes nos dá a equação final no sistema XY.

Por que esta fórmula: A expansão é necessária para simplificar a expressão e obter uma equação do tipo ax² + bxy + cy² = d.

x2−6xy+y2=16x^{2} - 6xy + y^{2} = 16

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 3: 2x^2 - x^2 = x^2 · −6xy-6xy = passo 3: -4xy - 2xy = -6xy · y2y^{2} = passo 3: 2y^2 - y^2 = y^2 · 1616 = passo 3: constante

2x2−4xy+2y2−x2−2xy−y2=162x^{2} - 4xy + 2y^{2} - x^{2} - 2xy - y^{2} = 16
x2−6xy+y2=16x^{2} - 6xy + y^{2} = \boxed{16}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a combinação dos termos cruzados, por exemplo, somar em vez de subtrair.

Passo 5 — Fazer x igual a zero

O eixo Y é o conjunto de pontos com x = 0. Substituindo x = 0 na equação, encontramos os valores de y onde a hipérbole cruza o eixo Y.

Por que esta fórmula: A interseção com o eixo Y é obtida diretamente fazendo x = 0 na equação da curva.

02−6⋅0⋅y+y2=160^{2} - 6\cdot 0 \cdot y + y^{2} = 16

De onde vem cada valor: 00 = condição do eixo Y: x = 0 · yy = variável a determinar

y2=16y^{2} = 16
y=±4y = \boxed{\pm 4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que y pode ser negativo, mas a altura é positiva.

Passo 6 — Escolher a altura positiva

A altura do avião é uma medida de distância, portanto deve ser positiva. Entre +4 e -4, escolhemos +4.

y=4y = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar o valor negativo como resposta, mas altura não pode ser negativa.

Resposta: 4 (alternativa D)

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